第二章 第15讲 导数的意义及运算-2021届高三数学一轮高考总复习课件(共32张PPT)

第15讲　导数的意义及运算 课标要求 考情风向标 1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵. 2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3， 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数[仅限于形如f(ax＋b)]的导数. 5.会使用导数公式表 本节复习时，应充分利用实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则对某些函数进行求导 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数， 记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝ . 1.函数导数的定义 [u(x)±v(x)]′＝u′(x)______v′(x)； [u(x)·v(x)]′＝_______________________； ′＝[v(x)≠0]. 2.导数的几何意义和物理意义 (1)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). (2)导数的物理意义：①在物理学中，如果物体运动的规律是s＝s(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时速度为v＝s′(t0)；②如果物体运动的速度随时间变化的规律是v＝v(t)，则该物体在时刻t0的瞬时加速度为a＝v′(t0). 3.基本初等函数的导数公式表 0 αxα－1 －sin x ex 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝__________ f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝__________(α∈Q*) f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝__________ f(x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln a(a>0) f(x)＝ex f′(x)＝__________ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝_______ 3.若f′(x0)＝－3，则 ＝(　　) A.－3 B.－6 C.－9 D.－12 解析：f′(x0)＝－3，则 ＝ ＝ ＋ ＝2f′(x0)＝－6. 4.运算法则 ± u′(x)v(x)＋u(x)v′(x) 例1：(1)设f(x)在x0处可导，下列式子与f′(x0)相等的是(　　) ① ；② ； ③ ；④ . C －3 1.已知函数f(x)＝4π2x2，则f′(x)＝(　　) A.4πx B.8πx C.8π2x D.16πx 2.(2018年新课标Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的 斜率为－2，则 a＝_________. B ③ ＝ ＝f′(x0)； ④ ＝3 ＝3f′(x0). (2)已知函数f(x)＝axln x＋1(a∈R)，若满足 ＝2，则a＝________. 4.(2019 年新课标Ⅱ)曲线 y＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处 的切线方程为( ) C A.x－y－π－1＝0 C.2x＋y－2π＋1＝0 B.2x－y－2π－1＝0 D.x＋y－π＋1＝0 解析：y＝2sin x＋cos x，f′(x)＝2cos x－sin x，则 k＝f′(π) ＝2cos π－sin π＝－2， ∴在点(π，－1)处的切线方程为 y＋1＝－2(x－π)，2x＋y－ 2π＋1＝0. 考点 1 导数的概念 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③④ 【规律方法】本题需直接变换出导数的定义式＝f′(x0).其中k(一般用Δx表示)可正可负，定义式的关键是一定要保证分子与分母中k的一致性. 解析：由函数的解析式，可得f′(x)＝exln x＋，f′(1)＝e1ln 1＋＝e. ∴①③正确.故选 B. 答案：B 解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1. 答案：2 (2)某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为(　　) A.20 mm B.400 mm C. mm/min D. mm/min 解析：f′(t)＝·10＝，∴f′(40)＝＝. 例4：(1)(2017年新课标Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为___________. 考点 2