第二章 第16讲 导数与函数的单调性-2021届高三数学一轮高考总复习课件(共38张PPT)

第16讲　导数与函数的单调性 课标要求 考情风向标 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函 数的单调性与导数的关系；能利用导数研 究函数的单调性，会求不超过三次的多项 式函数的单调区间. 2.结合函数的图象，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；会用导数求 不超过三次的多项式函数的极大值、极小 值，以及闭区间上不超过三次的多项式函 数最大值、最小值；体会导数方法在研究 函数性质中的一般性和有效性 本节复习时，应理顺 导数与函数的关系， 体会导数在解决函 数有关问题时的工 具性作用. 本节知识往往与其 他知识结合命题，如 不等式知识等，还应 注意分类讨论思想 的应用 1.函数的单调性 函数 y＝f(x)在(a，b)内可导，则： 单调递减 (1)若 f′(x)>0，则 f(x)在(a，b)内单调递增； (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在(a，b)内__________. 2.函数的极值 f′(x)＜0 f′(x)＞0 (1)判断f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧____________，右侧___________，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； 极小值 ③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左、右值的符号.如果 左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那 么 f(x)在这个根处取得__________；如果左右两侧符号一样，那 么这个根不是极值点. 3.函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)①若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小 值，f(b)为函数的最大值； ②若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值. (3)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； 极值 ②将函数 y＝f(x)的各________与端点值比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值. 1.如图 2-16-1 是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判 断中正确的是( ) A 图 2-16-1 A.函数 f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B.函数 f(x)在区间(1,3)上是减函数 C.函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D.函数 f(x)在区间(3,4)上是增函数 D 2.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A.(－∞，2) B.(0,3) D.(2，＋∞) C.(1,4) 解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令 f′(x)>0，解得 x>2，故选 D. 3.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　) B.(1，＋∞) A.(0,1) C.(－∞，1) D.(－1,1) A (5)由(1)题可知，f(x)的单调递减区间为， ∴＝1，即a＝3. (6)∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a. 由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0). ∵f(x)在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜＜1，得0＜a＜3，即实数a的取值范围为(0,3). 1<x<e. ∴f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，e). (0,1)和(1，e) 1.已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间上是 增函数，则实数a的取值范围为_____________. 考点 1 利用导数研究函数的单调性 例 1：(1)(2017 年浙江)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图 ) 象如图 2-16-2，则函数 y＝f(x)的图象可能是( 图 2-16-2 A B C D 解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值 点的横坐标大于 0.故选 D. 答案：D (2)函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，3)和(1，＋∞) D.(－3,1) 解析：f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(3－2x－x2)ex，∴f′(x)>0， 即x2＋2x－3<0.解得－3<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(－3,1).故 选 D. 答案：D (3)在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图 2-16-3，则关于 x 的 不等式 xf′(x)<0 的解集为( )