第二章 第17讲 导数与函数的极值、最值-2021届高三数学一轮高考总复习课件(共45张PPT)

第17讲　导数与函数的极值、最值 课标要求 考情风向标 1.能利用导数研究函数的单调性， 会求不超过三次的多项式函数的 单调区间. 2.会用导数求不超过三次的多项式 函数的极大值、极小值，以及闭区 间上不超过三次的多项式函数最 大值、最小值；体会导数方法在研 究函数性质中的一般性和有效性. 3.体会导数在解决实际问题中的 作用 本节复习时，要特别注意三次函 数、指数函数与对数函数(以 e 为 底)的综合题.要深入体会导数应 用中蕴含的数学思想方法.分类讨 论思想(如参数问题的讨论)；数形 结合思想(如通过从导函数图象 特征解读函数图象的特征或求两 曲线交点个数)；等价转化思想(如 将证明的不等式问题等价转化为 研究相应问题的最值等) 利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数 学模型，写出相应的函数关系式 y＝f(x)并确定定义域； (2)求导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)判断使 f′(x)＝0 的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答， 即获得优化问题的答案. 1.(2016年四川)已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点， ) 则 a＝( A.－4 C.4 B.－2 D.2 在(t，t＋1)上存在极值点，则实数 t 的取值范围为____________. D (0,1)∪(2,3) (3)f′(x)＝0有两正根，即ax2＋(1－a)x－1＝0有两正根， ∴解得a<0且a≠－1. 3.(2019年黑龙江模拟)设函数f(x)＝xex，则(　　) D A.x＝1 为 f(x)的极大值点 B.x＝1 为 f(x)的极小值点 C.x＝－1 为 f(x)的极大值点 D.x＝－1 为 f(x)的极小值点 解析：f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex. 令 f′(x)＝0，则 x＝－1. 当 x<－1 时，f′(x)<0，当 x>－1 时，f′(x)>0， ∴x＝－1 为 f(x)的极小值点. 4.(2018年四川南充一诊)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间 (－1,1)内恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为( ) B A.(1,5) B.[1,5) C.(1,5] D.(－∞，1)∪(5，＋∞) 解析：由题意知 f′(x)＝3x2＋2x－a＝0在区间(－1,1)内恰 有一根( 且在根两侧 f′(x) 异号) ⇔ f′(1)f′(－1) ＝(5 －a)(1－ a)<0⇔1<a<5，故选 B. 考点 1 函数的极值 ∵0<b≤1，∴x1∈(0,1). 当x∈(0,1)时，f(x)＝x(x－b)(x－1)≤x(x－1)2. 令g(x)＝x(x－1)2，x∈(0,1)，则g′(x)＝3(x－1). 令g′(x)＝0，得x＝.列表如下： x g′(x) ＋ 0 － g(x) ↗ 极大值 ↘ ∴当x＝时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max＝g＝. ∴当x∈(0,1)时，f(x)≤g(x)≤，因此M≤. 解：(1)∵a＝b＝c， ∴f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3. ∵f(4)＝8，∴(4－a)3＝8，解得a＝2. (2)∵b＝c， ∴f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2. 从而f′(x)＝3(x－b). 令f′(x)＝0，得x＝b或x＝. ∵a，b，都在集合{－3,1,3}中，且a≠b， ∴实数 a 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0). 答案：(1)a>－1 (2)5 (3)(－∞，－1)∪(－1,0) ∴＝1，a＝3，b＝－3. 【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数 f(x)的定义域； ②求 f′(x)，令 f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根； ③把函数 f(x)的间断点[即 f(x)的无定义点]的横坐标和上面 的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间； ④确定 f′(x)在各个开区间内的符号，根据 f′(x)的符号判 定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性. (2)可导函数极值存在的条件： ①可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点.如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点； ②可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同. 考点 2 函数的最值 例 2：(2019 年江苏)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b， c∈R，f′