2.2 第1课时基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习 (2份打包)

第二章　2.2　第1课时 1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　C　) A．　　　　　　　 B．1 C．2 D．4 [解析]　x2＋y2＝4≥2xy， ∴xy≤2， ∴xy的最大值为2，故选C． 2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　C　) A．a－b<0 B．0<<1 C． D．ab>a＋b< [解析]　由基本不等式知，≤ ∵a>b>0，∴，故选C．< 3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是__A≥G__. 4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为__20__. [解析]　x＋y≥2＝20(当且仅当x＝y＝10时取等号)．＝2 5．已知a，b∈R，求证：ab≤()2. [证明]　∵(－ab)2－ab＝ ＝≥0，＝ ∴()2.)2≥ab，即ab≤( $$第二章　2.2　第1课时 A组·素养自测 一、选择题 1．下列不等式中正确的是(　D　) A．a＋≥4　　　　 B．a2＋b2≥4ab C．≥2 D．x2＋≥ [解析]　a<0，则a＋，故C错；由基本不等式可知D项正确．<≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则 2．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为(　B　) A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 [解析]　因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B． 3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　D　) A．10 B．25 C．5 D．2 [解析]　a＋b≥2时成立，故选D．，等号在a＝b＝＝2 4．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　B　) A． B． C． D． [解析]　由x(3－3x)＝时取等号．，当且仅当3x＝3－3x，即x＝＝××3x(3－3x)≤ 5．设0<a<b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　B　) A． B．b C．2ab D．a2＋b2 [解析]　∵ab<. ，∴2ab<2，∴ab< ∵>0，a＋b＝1， > ∴. ，∴a2＋b2>> ∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2 ＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大． 6．已知a>0，b>0，A＝，则A，B，C的大小关系为(　D　) ，C＝，B＝ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A [解析]　由基本不等式可知，A≥B，，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D．＝≤ 二、填空题 7．若a<1，则a＋≤－1__.与－1的大小关系是__a＋ [解析]　因为a<1，即a－1<0， 所以－≤－1.，即a＝0时取等号)．即a＋＝2(当且仅当1－a＝≥2＝(1－a)＋ 8．已知a>b>c，则__.≤的大小关系是__与 [解析]　因为a>b>c， 所以a－b>0，b－c>0. .≤.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以＝≤ 9．设x>0，则－1__.的最小值为__2 [解析]　由x>0，可得x＋1>1. 令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1，则－1时，等号成立．，即x＝－1，当且仅当t＝－1＝2－1≥2＝t＋＝ 三、解答题 10．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？ [解析]　x2＋，即x＝±1时等号成立． ＝2，当且仅当x2＝≥2 ∴x＝1或－1时，x2＋取得最小值，最小值为2. 11．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1).<>2；(2)＋ [证明]　(1)∵x>0，y>0，∴>0，>0， ∴≥2.＋＝2，∴≥2＋ 由于当且仅当，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．＝ ∴>2.＋ (2)∵x>0，y>0，x≠y，∴x＋y>2<1，，∴ ∴，< ∴.< B组·素养提升 一、选择题 1．(2019·广东湛江一中高二上第二次大考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为(　B　) A． B．2 C． D．5 [解析]　∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0， ∴＝5，＋2·≥＋＋)＝＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋ 当且仅当，即x＝2y＝1时取等号，＝ ∴当3x＋4y取得最小值时，x＝2y＝1，∴x＋2y的值为2，故选B． 2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　B　) A． B． C． D． [解析]　由x2＋3xy－1＝0可得y＝－x)． ( 因为x>0，所以x＋y＝.时，等号成立)．故x＋y的最小值为，即x