1.4 充分条件与必要条件-2020-2021学年高一数学卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）

第四节　充分条件与必要条件 一、知识点归纳 知识点一　充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)几点说明 ①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的． ②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． ③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题． 知识点二　充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 二、题型分析 题型一 充分条件、必要条件的判断 【例1】指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． (3)p：a＞b，q：ac＞bc. 【规律方法总结】 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式1】．指出下列各组命题中，p是q的什么条件． (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． (2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用 【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 【规律方法总结】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 题型三 充要条件的探求与证明 【例3】试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 【规律方法总结】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式3】．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 三、课堂达标检测 1．“x>0”是“x≠0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(　　) A．充要条件　　　　　　 　B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 4．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5.（2019-2020学年•铜山区期中）设，则“”是“”的　　条件． A．必要不充分 B．充分不必要 C．既不充分也不必要 D．充要 6．（2019-2020学年•重庆模拟）“”是“”的　　 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3