1.5 全称量词与存在量词-2020-2021学年高一数学卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）

第五节　全称量词与存在量词 一、知识点归纳 知识点1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 知识点2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 知识点3．含有一个量词的命题的否定﹁ 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 二、题型分析 题型一 全称量词命题和存在量词命题的判断 【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)对任意实数a，|a|＞0； (4)有一个角α，使sin α＝. 【规律方法总结】 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式1】. 判断下列命题的真假． (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 题型二 含有一个量词的命题的否定 【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　 ) A．∀n∈N，n2>2n　　 B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n (2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　 ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 【规律方法总结】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式2】．写出下列命题的否定并判断其真假： (1)p：∀x∈R，≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0； (4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 题型三 全称量词命题与存在量词命题的应用 【例3】对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围． 令y＝x2＋4x－1，x∈R， 则y＝(x＋2)2－5， 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． 【规律方法总结】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式3】．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　 ) A．m≥1　　　 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 三、课堂达标检测 1．下列存在量词命题中，是假命题的是(　　 ) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．有的三角形没有外接圆 D．某些四边形不存在外接圆 2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　 ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理