考点14 三角函数化简与求值-2021年新高考数学一轮复习考点扫描

考点14 三角化简和求值 【考点剖析】 1. 最新考试说明： （1）利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点． 【2020年高考全国Ⅲ卷文数5】已知，则 （ ） A． B． C． D． 【2020年高考全国Ⅲ卷理数9】已知，则 （ ） A． B． C． D． （2）考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 【2020年高考全国Ⅱ卷文数13】设，则 ． 【2020年高考江苏卷8】已知，则的值是________． 【2020年高考全国Ⅰ卷理数9】已知，且，则 （ ） A． B． C． D． 2. 命题方向预测： （1）考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值. （2）公式逆用、变形应用是高考热点． （3）题型以选择题、解答题为主. 3. 课本结论总结： （1）同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1； ②商数关系：＝tan α. （2）诱导公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝，其中k∈Z. 公式二：sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝， tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝，cos(－α)＝. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝. 公式五：＝，＝sin α. 公式六：＝，＝ 诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限 (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①C(α－β)：cos(α－β)＝； ②C(α＋β)：cos(α＋β)＝； ③S(α＋β)：sin(α＋β)＝； ④S(α－β)：sin(α－β)＝； ⑤T(α＋β)：tan(α＋β)＝； ⑥T(α－β)：tan(α－β)＝. (4)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①S2α：sin 2α＝； ②C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③T2α：tan 2α＝. 4.名师二级结论： （1）有关公式的逆用、变形等 ①tan α±tan β＝； ②cos2α＝； ，sin2α＝ ③1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， . （2）函数(a，b为常数)，可以化为f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． sin(α＋φ)或f(α)＝ （3）三种方法 在求值与化简时，常用方法有： ①弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦． ②和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． ③巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝…. （4）三个防范 ①利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定． ②在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． ③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 5.课本经典习题： (1)新课标A版第 130 页，第 例4（3）题（例题）求值： 【解析】 【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合. (2) 新课标A版第 137页，第A5题（例题）已知,,求的值. 【解析】，；又，； 则. 【经典理由】1.求三角函数值时，要注意角的范围；2.注意用已知角表示所求角. 6.考点交汇展示： (1)与解三角形交汇 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A；（2）若，求sinC． 2.【2020年高考天津卷16】在中，角所对的边分别为．已知． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值． (2)与函数的奇偶性、单调性的交汇 1．若将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小正值是 A． B． C． D． 2．已知函数 . (Ⅰ)若 ，且 ，求 的值； (Ⅱ)求函数 的最小正周期及单调递增区间． 【考点分类】 热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值 1．【2020年高考浙江卷13】已知，则 ； ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°= A．−2− B．−2+