1.3 探索三角形全等的条件-2020-2021学年八年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

探索三角形全等的条件 知识点一、边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 1. 只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 2. 在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 例：如图，公园里有一条“Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BE＝CF，M在BC的中点.试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？ 【解答】见解析 【解析】∵AB平行CD（已知）， ∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）， ∵M在BC的中点（已知）， ∴BM＝CM（中点定义）， 在△BME和△CMF中， ， ∴△BME≌△CMF（SAS）， ∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的对应角相等）， ∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性质）， ∴E，M，F在同一直线上. 知识点二、角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 例：如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF. 【解答】见解析 【解析】作∠ABC的平分线BF交AC于点F，如图所示： ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠C， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBF， ∵∠ABC＝2∠ADG， ∴∠CBF＝∠ADG， 在△DAE与△BCF中， ， ∴△DAE≌△BCF（ASA）， ∴DE＝BF. 知识点三、角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点 D，E在直线l上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB． 【解答】见解析 【解析】∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）. 知识点四、边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 知识点五、斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 例：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF，求证：AB∥DC. 【解答】见解析 【解析】∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴在Rt△ADE与Rt△CBF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF （HL）， ∴AE＝CF，DE＝BF， ∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE， 在Rt△CDE与Rt△ABF中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）， ∴∠DCE＝∠BAF， ∴AB∥DC. 巩固练习 一．选择题 1． 如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CD＝CA，CE＝CB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 2． 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能使△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．AC＝DB D．∠ACB＝∠DBC 3． 如图，△ABC中，∠C＝90°，E是AC上一点，连接BE，过E作DE⊥AB，垂足为D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE+DE的值为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 4． 如图，AE∥FD，AE＝DF，要使△EAB≌△FDC，需要添加的条件可以是（　　） A．AB＝BC B．EB＝FC C．∠A＝∠F D．AB＝CD 5． 如图，在△ABC与△EMN中，BC＝MN＝a，AC＝EM＝b，∠C＝∠M＝54°．若∠A＝66°，下列结论正确的是（　　） A．EN＝c B．EN＝a C．∠E＝60° D．∠N＝66° 6． 如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝2∠B，F是BC的中点，EF∥AD交AB于点E，且BE＝4AE，若CD＝4，则AB的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 7． 如图，∠ACB＝90°，AC＝CD，过点D作AB的垂线交AB的延