第三讲 勾股定理的应用（基础讲解）-2020-2021学年八年级数学上册基础讲练（北师大版）

第三讲 勾股定理的应用 一、长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离 长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题． 重点长方体表面上两点间最短距离 因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可． 1、如图①是一个棱长为3 cm的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s的蚂蚁，从下底面的A点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光． 你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？ 解：如图②，在Rt△ABD中，AD＝4 cm，BD＝3 cm. 由勾股定理，AB2＝BD2＋AD2＝32＋42＝25，AB＝5 cm，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm. 又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s， ∴它从点A沿着正方体的表面爬行到点B处，需要时间为＝2.5 s. 小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服． 2、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下： [来源:学&科&网Z&X&X&K] 如图①，在Rt△ABC1中， AC＝AB2＋BC＝42＋32＝52＝25. 故AC1＝5.[来源:Zxxk.Com] 如图②，在Rt△ACC1中， AC＝AC2＋CC＝62＋12＝37. 如图③，在Rt△AB1C1中， AC＝AB＋B1C＝52＋22＝29. ∵25＜29＜