1.4 用一元二次方程解决问题-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

用一元二次方程解决问题 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 例：如果一台电脑被某种病毒感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，问：每轮感染中平均每台电脑会感染几台电脑？若不能及时控制，三轮感染后，被感染的电脑台数会不会超过700台？ 【解答】见解析 【解析】设每轮感染中，平均每台电脑会感染x台电脑. 由题意可得， 解得（不合题意，舍）， 第三轮感染后，被感染的电脑台数为. 答：每轮感染中，平均每台电脑会感染8台电脑；三轮感染后，被感染的电脑台数会超过700台. 知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1. 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 例：两个连续负奇数的积是143，求这两个数． 【答案】﹣13，﹣11 【解析】设这两个连续奇数为x，x＋2， 根据题意x（x＋2）＝143， 解得x1=11（不合题意舍去），x2=﹣13， 则当x=﹣13时，x+2=﹣11． 答：这两个数是﹣13，﹣11． 2. 平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 例：随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（　　） A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9 【答案】A． 【解析】设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x， 根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故选项A正确. 3. 利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 例：有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出? 【解答】6250 【解析】设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适． 根据题意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×100