专题3 导数及其应用（小题专练）-【创新教程】2016-2020五年高考真题理科数学分类特训

专题三　导数及其应用 １．B　先求函数的导函数f′(x)＝４x３－６x２,则由导数的几何 意义知在点(１,f(１))处的切线的斜率为k＝f′(１)＝－２,又 因为f(１)＝－１,由直线方程的点斜式得切线方程为:y－ (－１)＝－２(x－１),化简得y＝－２x＋１． ２．D　由直线与圆相切,故圆心(０,０)到直线的距离为圆半径r ＝ ５５ ,符合条件的只有 A,D,将选项 A的直线方程代入y＝ x,得:２x－ x＋１＝０,无解;将选项 D的直线方程代入y＝ x,得:x－２ x＋１＝０,有一解x＝１,故选 D． ３．D　准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运 算法则掌握不熟,二导致计算错误．求导要“慢”,计算要准, 是解答此类问题的基本要求． y′＝aex＋lnx＋１, k＝y′|x＝１＝ae＋１＝２ ∴a＝e－１ 将(１,１)代入y＝２x＋b得２＋b＝１,b＝－１,故选 D． ４．A　f′(x)＝[x２＋(a＋２)x＋a－１]􀅰ex－１, 则f′(－２)＝[４－２(a＋２)＋a－１]􀅰e－３＝０⇒a＝－１, 则f(x)＝(x２－x－１)􀅰ex－１,f′(x)＝(x２＋x－２)􀅰ex－１, 令f′(x)＝０,得x＝－２或x＝１, 当x＜－２或x＞１时,f′(x)＞０, 当－２＜x＜１时,f′(x)＜０, 则f(x)极小值为f(１)＝－１． ５．C　x２－２x＝－a(ex－１＋e－x＋１),设g(x)＝ex－１＋e－x＋１, g′(x)＝ex－１－e－x＋１＝ex－１－ １ex－１ ＝e ２(x－１)－１ ex－１ ,当g′(x)＝０ 时,x＝１,当x＜１时,g′(x)＜０函数单调递减,当x＞１时, g′(x)＞０,函数单调递增,当x＝１时,函数取得最小值g(１) ＝２,设h(x)＝x２－２x,当x＝１时,函数取得最小值－１,若 －a＞０,函 数 h(x),和 ag(x)没 有 交 点,当 －a＜０ 时, －ag(１)＝h(１)时,此时函数h(x)和ag(x)有一个交点,即 －a×２＝－１⇒a＝１２ ,故选 C． ６．D　原函数先减再增,再减再增,因此选 D． ７．A　８．A ９．３x－y＝０　y′＝３(２x＋１)ex＋３(x２＋x)ex＝３(x２＋３x＋１)ex． ∴y′|x＝０＝３． ∴切线方程为y－０＝３(x－０),即３x－y＝０． １０．－３　y′＝(ax＋１)′ex＋(ax＋１)􀅰(ex)′＝aex＋(ax＋１)ex ＝(ax＋a＋１)􀅰ex, y′|x＝０＝a＋１＝－２,∴a＝－３． １１．－３　f(x)＝２x３－ax２＋１＝０⇒a＝２x＋１x２ ． 令g(x)＝２x＋１x２ ,g′(x)＝２－２x３ ＞０⇒x＞１⇒g(x)在(０, １)单调递减,在(１,＋∞)单调递增 ∵f(x)在(０,＋∞)内有唯一零点,∴a＝g(１)＝２＋１＝３⇒ f(x)＝２x３－３x２＋１ 求导可知在[－１,１]上,f(x)min＝f(－１)＝－４,f(x)max＝ f(０)＝１, ∴f(x)min＋f(x)max＝－３． １２．２x－y＝０　y′＝ ２x＋１ ,∴k＝y′|x＝０＝２, ∴切线方程为y＝２x．即２x－y＝０． １３．－３ ３２ 　f (x)＝２sinx＋sin２x＝２sinx＋２sinxcosx． ＝２sinx(１＋cosx),令t＝１＋cosx,∴cosx＝t－１,且０≤t ≤２． ∴sinx＝± １－cos２x＝± １－(t－１)２ ＝± ２t－t２． ∴g(t)＝±２ ２t－t２􀅰t＝±２ ２t３－t４ 要求f(x)的最小值,即求g(t)＝－２ ２t３－t４的最小值． 令m(t)＝２t３－t４(０≤t≤２), 则m′(t)＝６t２－４t３＝２t２(３－２t), 当０≤t＜３２ 时,m′(t)＞０,当t＞３２ 时,m′(t)＜０, ∴当t＝３２ 时,m(t)取得最大值, m ３２( )＝２× ３ ２( ) ３ － ３２( ) ４ ＝２７１６． ∴g(t)的最小值为gmin(t)＝－ ３ ３ ２ ． 即f(x)的最小值为－３ ３２ ． １４．１－ln２　y＝lnx＋２的切线为:y＝１x１ 􀅰x＋lnx１＋１(设切 点横坐标为x１) y＝ln(x＋１)的切线为:y＝ １x２＋１ x＋ln(x２＋１)－ x２ x２＋１ ∴ １ x１ ＝ １x２＋１ lnx１＋１＝ln(x２＋１)－ x２ x２＋１ ì î í ï ï ïï 解得x１＝ １ ２ ,x２＝－ １ ２ , ∴b＝lnx１＋１＝１－ln２． １５．y＝－２x－１　当x＞０时,－x＜０,则f(－x)＝lnx－３x, 又因为f(x)为偶函数,所以f(x)＝f(－x)＝lnx－３x,所 以f′(x)＝１x－３ ,则切线斜率为f′(１)＝－２,所以