考点09 函数与方程-2021年新高考数学一轮复习考点扫描

考点9 函数与方程 【考点剖析】 1.最新考试说明： （1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 【2020年高考天津卷9】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【2020年高考山东卷6】基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（） （ ） A．天 B．天 C．天 D．天 【2020年高考上海卷11】已知，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件，①对任意，的值为或；②关于的方程无实数解；则的取值范围为 ． 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． C． D． （2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 【2020·浙江省高三模拟】）设函数与的图象交点为，则所在的区间是（ ）． A． B． C． D． 【2020江苏省南通如皋市高三】已知函数的零点在区间内，则正整数的值为________． 2.命题方向预测： （1）考查具体函数的零点个数和零点的取值范围. （2）利用函数零点求解参数的取值范围. （3）考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想．（4）2016年多套高考试卷出现考查函数与方程的题目，预测2017年依然会有类似题目. 3.课本结论总结： （1）几个等价关系： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． （2）函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间（a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系： Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象       与x轴的交点  （x1,0）,(x2,0)  (x1,0) 无交点  零点个数  两个  一个（二重的）  零个 （4）给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)； (i)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； ii)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (iii)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε.即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④. 4.名师二级结论： （１）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点分布情况 根的分布(m＜n＜p为常数) 图象 满足的条件 x1＜x2＜m (两根都小于m) m＜x1＜x2 (两根都大于m) x1＜m＜x2 (一根大于m，一根小于m) f(m)＜0 x1，x2∈(m，n) (两根位于m，n之间) m＜x1＜n＜x2＜p (两根分别位于m与n，n与p之间) 只有一根在m，n之间 或f(m)·f(n)＜0 （２）有关函数零点的重要结论： (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变． (4)函数 至多有 个零点． 5.课本经典习题： (1) 新课标A版必修一第88页，例1 求函数 的零点的个数. 【答案】仅有一个零点 【解析】首先注意函数的定义域为 ，再因为 在 恒成立，所以函数 在 上是增函数，又因为 ，且 ，由零点存在性定理及函数的单调性可知：函数 的零点有且仅有一个。 【经典理由】函数零点个数的判断是高考命题的热点。 (2) 【课本典型习题改编，P119B组第1题】方程 的解所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【经典理由】判断方程的根所在的大致范围这也