考点10 导数的概念及其几何意义-2021年新高考数学一轮复习考点扫描

考点10 导数的概念及其几何意义 【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.了解导数概念的实际背景； 2. 理解导数的几何意义； 【2020年高考全国Ⅰ卷理数6】函数 的图像在点 处的切线方程为 （ ） A． B． C． D． 【2020年高考全国Ⅰ卷文数15】曲线 的一条切线的斜率为 ，则该切线的方程为 ． 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A． B．a=e，b=1 C． D． ， 3. 会用课本给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 的导数） 【2020年高考全国Ⅲ卷文数15】设函数 ，若 ，则 ． 【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点 （-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ▲ . 2.命题方向预测： 导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前一问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度往往有： (1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用． 3.课本结论总结： 1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2．导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3） (g(x)≠0)． (4) 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 3. 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数几何意义： 函数 在点 处的导数 就是曲线 在点 处的切线和斜率，即 . 相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 4.名师二级结论： 当一个函数是多个函数复合而成时，就按照从外层到内层的原则进行求导，求导时要注意分清层次，防止求导不彻底，同时，也要注意分析问题的具体特征，灵活恰当选择中间变量，同时注意可先化简，再求导，实际上，复合函数的求导法则，通常称为链条法则，这是由于求导过程像链条一样，必须一环一环套下去，而不能漏掉其中的任何一环. 5.课本经典习题： (1)新课标A版选修2-2第6页，例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第 EMBED Equation.KSEE3 时，原油的温度（单位：℃）为 .计算第 与第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 【解析】在第 和第 时，原油温度的变化的瞬时变化率就是 和 ，根据导数的定义， ，∴ ，同理可得 ，在第 与第 时，原油温度的瞬时变化率分别为 与 ，它说明在第 附近，原油温度大约以 ℃/ 的速度下降；在第 附近，原油温度大约以 ℃/ 的速率上升，一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况. 【经典理由】结合具体的实例，给出了结论： 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况，阐述了导数的意义：导数可以描述瞬时变化率. (2) 新课标A版选修2-2第17页，例4 求下列函数的导数（1） ；（2） ；（3） EMBED Equation.KSEE3 其中 ， 均为常数 ； 【解析】（1）函数 可以看作函数 和 的复合函数，根据复合函数求导法则有 ；（2）函数 可以看作函数 和 的复合函数，根据复合函数求导法则有 ；（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数，根据复合函数求导法则有 . 【经典理由】结合具体的例题，说明了复合函数求导的一般方法. 6.考点交汇展示： (1)导数与点线距离相结合 例1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（ ） A． B．3 C． D． 例2．（2020·重庆南开中学高三）点P在函数的图象上，若