1.3 一元二次方程根与系数的关系-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

一元二次方程根与系数的关系 知识点一、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1. 一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2. 韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3. 当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 例：若一元二次方程的两根分别是、，则的值是 . 【解答】2 【解析】∵、分别是一元二次方程的两个根， ∴. 知识点二、一元二次方程根与系数的关系应用 1. 已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 例：已知关于x的方程有一个根是，求另一个根及m的值. 【解答】另一个根是－4，m的值是10 【解析】设方程的另一根为t， 由题意可得， 解得， 又， ∴方程的另一个根是－4，m的值是10. 2. 求与两个根有关的代数式的值 例：已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【解答】D 【解析】∵、分别是一元二次方程的两个根， ∴，， . 3. 不解方程，判定根的符号 例：不解方程，判断方程两个根的符号是同号还是异号？ 【解答】见解析 【解析】，∴该方程有两个不等的实数根， 设两个实数根分别为、， 由可得方程的两个根异号. 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 巩固练习 一．选择题 1． 若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 2． 设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A．3 B． C． D．﹣2 3． 已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 4． 若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是，5，则方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c的两根为（　　） A．，6 B．﹣3，10 C．﹣2，11 D．﹣5，21 5． 设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣19x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为（　　） A．0 B．﹣2019 C．﹣39 D．1 6． 方程x2+px+97＝0恰有两个正整数根x1、x2，则的值是（　　） A． B． C． D．． 二．填空题 7． 已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则2x1x2　 　． 8． 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则的值为　 　． 9． 设方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝3，则m＝　 　． 10．若关于x的方程x2﹣34x+34k﹣1＝0至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值　 　． 11．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是　 　． 12．若实数a、b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是　 　． 13．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2019＝　　 ． 14．若a，b都是整数，方程ax2+bx﹣2008＝0的相异两根都是质数，则3a+b的值为　 　． 三．解答题 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）xk2﹣2＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值． 16．已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0． （1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根． （2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|时，求出a的值． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值． 18．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x1＝0有两个实数根 （1）求k的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝6x1x2﹣15，求k的值． 19．关于x的方程：ax2+2（a﹣3）x+a﹣13＝0至少有一个整数根，且a为非负整数