1.2 一元二次方程的解法-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

一元二次方程的解法 知识点一、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1. 形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2. 形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 例：解方程. 【解答】或 【解析】将看作是一个整体，两边开方得， 当时，解得； 当时，解得， 所以原方程的根为或. 知识点二、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1. 对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3. 配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 例：解方程. 【解答】 【解析】方程变形得， 配方得， 即， 开方得， 解得. 知识点三、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 例：解方程 【解答】 【解析】先将方程化为一般形式， ， . 知识点四、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1. 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 例：解方程 【解答】 【解析】将方程等号右边化为0得， 因式分解得， 令或， 解得. 巩固练习 一．选择题 1． 对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 2． 一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3． 关于x的一元二次方程ax2﹣x0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞﹣1 C．a＜1 D．a＜1且a≠0 4． 使方程2x2﹣5mx+2m2＝5的一根为整数的整数m的值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5． 已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1 6． 实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0 7． 若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k 二．填空题 8． 若关于x的方程2x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于　 　． 9． 用配方法解一元二次方程x2+6x+1＝0时，配方后方程可化为：　 　． 10．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m0有实数根，则实数m的取值范围是　 　． 11．设方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝3，则m＝　 　． 12．已知m2＝2m+5，n2＝2n+5，则m5+n5＝　 　． 13．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是　 　． 三．解答题 14．解一元二次方程：