【新教材精创】1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面 的位置关系（1） 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理. 4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系. 重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 难点：用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系 一、自主导学 （一）空间中点、直线和平面的向量表示 1.点的位置向量 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图. 2.空间直线的向量表示式 如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta,　① 或+t.　② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 　3.空间平面的向量表示式 如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 4.平面的法向量 如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}. 点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件: ①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合. （二）、空间中直线、平面平行的向量表示 位置关系 向量表示 线线 平行 设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则 l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R,使得μ1=λμ2. 线面 平行 设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量, l⊄α,则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n=0. 面面 平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2. 点睛：1.空间平