2.9 函数与方程-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§2.9　函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系 方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 概念方法微思考 函数f (x)的图象连续不断，是否可得到函数f (x)只有一个零点？ 提示　不能． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　) (2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)<0.(　×　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　) (4)f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f (x)<g(x)．(　√　) 题组二　教材改编 2．函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　由f′(x)＝ex＋3>0，得f (x)在R上单调递增，又f (－1)＝－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x)有且只有一个零点． 3．若函数f (x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，4) 题组三　易错自纠 4．已知函数f (x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2