河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题（可编辑PDF版）

高一年级第二学期自命题期末考试数学答案 一． 选择 1-5.DABBD 6-10.DDAAD 11-12.BA 二． 填空 13.(-∞,-1] 14. 1 2 15.30° 16.①②③ 三．解答题 17.【答案】 解：(1)由正弦定理及 c=bcosA+ 3 3 bsinA，得 sinC=sinBcosA+ 3 3 sinBsinA， 由 C=π-(A+B)，得 sin(A+B)=sinBcosA+ 3 3 sinBsinA， ∴ cosBsinA= 3 3 sinBsinA， ，∴ sinA≠0， ∴ tanB= 3， ， ， 又△ ABC外接圆的半径 R=2， ∴ b sinB =2R， ∴ b=23． (2)因为 cosB= a2+c2-b2 2ac ， ∴ a2+c2=12+ac， 由 a2+c2 2 ≥ a+c 2 ≥ ac， 可得 ， ∴ a+c≤43，当且仅当 a=c=23时，等号成立． 又∵ b=23．∴△ ABC周长的最大值为 63． 18.【答案】 解：（I）由 an 2 +2an＝4Sn+3，可知 an+1 2 +2an+1＝4Sn+1+3 两式相减得 an+1 2 ﹣an 2 +2（an+1﹣an）＝4an+1， 即 2（an+1+an）＝an+1 2 ﹣an 2 ＝（an+1+an）（an+1﹣an）， ∵an＞0，∴an+1﹣an＝2， ∵a1 2 +2a1＝4a1+3， ∴a1＝﹣1（舍）或 a1＝3， 则{an}是首项为 3，公差 d＝2的等差数列， ∴{an}的通项公式 an＝3+2（n﹣1）＝2n+1： （Ⅱ）∵an＝2n+1， ∴bn= 1 a n a n+1 = 1 (2n+1)(2n+3) = 1 2 （ 1 2n+1 - 1 2n+3 ）， ∴数列{bn}的前 n项和 Tn= 1 2 （ 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 +⋯+ 1 2n+1 - 1 2n+3 ）= 1 2 （ 1 3 - 1 2n+3 ）= 1 6 - 1 4n+6 . 19.【答案】 （1）男生自主学习不超过 40分钟的人数： 人， 女生自主学习不超过 40分钟的人数： 人， 所以估计全区高三学生网上学习时间不超过 40分钟的人数为 225人. （2）在 80名学生中，男生网上学习不超过 40分钟的人数： 人， 女生网上学习不超过 40分钟的人数： 人， 所以选 4名男生，2名女生.4名男生设为 ， ， ， ，2名女生设为 ，任选 2 人有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 15种. 没有男生的有 ，共 1种. 所以至少有一名男生的概率 20.【答案】 21．【答案】 （1）过点 E作 EH⊥BC，连接 HD，EH= 3， 因为平面 ABCD⊥平面 BCE，EH⊂平面 BCE，平面 ABCD∩平面 BCE＝BC， 所以 EH⊥平面 ABCD， 因为 FD⊥ABCD，FD= 3， 所以 FD∥EH，FD＝EH，故平行四边形 EHDF，所以 EF∥HD， 由 EF⊄平面 ABCD，HD⊂平面 ABCD， 所以 EF∥平面 ABCD； ……………………………………….5分 （2）连接 HA，根据题意，AH⊥BC，以 H为原点，HB，HA，HE为 x，y， z轴建立空间直角坐标系，则 A（0， 3，0），B（1，0，0），E（0，0， 3）， F（-2， 3， 3）， 则 → BA=（﹣1， 3，0）， → BE=（﹣1，0， 3）， → BF=（﹣3， 3， 3）， 设平面 BAF的法向量为 → m =（x，y，z）， { → m⋅ → BA=-3x+ 3y+ 3z=0 → m⋅ → BF=-x+ 3y=0 ，得 → m =（ 3，1，2），……………………8分 设平面 BEF的法向量为 → n=(a，b，c)， 由{ → n⋅ → BE=-a+ 3c=0 → n⋅ → BF=-3a+ 3b+ 3c=0 ，得 → n=(3，2，1)…………………10分 由 cos＜ → m， → n＞ = 3+2+2 8 = 7 8 ， 所以二面角 A﹣FB﹣E的余弦值为- 7 8 ． ……………………12分 22． 【答案】 （1）由已知得四边形 是正方形，且边长为 2，在图 2中， ， ……1分 由已知得 ， ，∴ 平面 ，…………2分 又 平面 ，∴ ， …………3分 又 ， ， ∴ 平面 ．…………5分 （2）在图 2中， ， ， ，即 面 ， 在梯形 中，过点 作 交 于点 ，连接 ， 由题意得 ， ，由勾股定理可得 ，则 ， ， 过 作 交 于点 ，可知 ， ， 两两垂直， 以 为坐标原点，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标 系，…………7分 则 ，