专题04 导数及其应用（解答题）-三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编

专题04 导数及其应用（解答题） 1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数． （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明： ； （3）设，证明：． 3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直． （1）求B． （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1． 4．【2020年高考天津】已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 5．【2020年高考北京】已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 6．【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点； （Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 7．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米． （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 8．【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有． （1）若，求h(x)的表达式； （2）若，求k的取值范围； （3）若求证：． 9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数． （1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）≥1，求a的取值范围． 10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 11．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数. （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线. 12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由. 13．【2019年高考北京理数】已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值． 14．【2019年高考天津理数】设函数为的导函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明． 15．【2019年高考浙江】已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意均有 求的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数． 16．【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 17．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 18．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 19．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 20．【2018年高考北京理数】设函数=[]． （Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a； （Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 21．【2018年高考天津理数】已知函数，，其中a>1. （I）求函数的单调区间； （II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明； （III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. 22．【2018年高考浙江】已知函数f(x)=−lnx． （Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点． 23．【2