专题05 正方形的性质（重点练）-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练（北师大版）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、（2019•包头）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　） A． B． C．﹣1 D． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE+∠DAF＝30°， ∴∠DAF＝15°， 在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示： ∴AG＝FG，∠DGF＝30°， ∴DF＝FG＝AG，DG＝DF， 设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x， ∵AG+DG＝AD， ∴2x+x＝1， 解得：x＝2﹣， ∴DF＝2﹣， ∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1； 故选：C． 12、(（2016 遵义）如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、CD上的点，且∠CFE=60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是（　　） A．3﹣4 B．4﹣5 C．4﹣2 D．5﹣2 【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质． 【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=AD=3，由折叠的性质得出FC′=FC，∠C′FE=∠CFE=60°，∠FC′B′=∠C=90°，B′E=BE，∠B′=∠B=90°，求出∠DC′F=30°，得出FC′=FC=2DF，求出DF=1，DC′=DF=，则C′A=3﹣，AG=（3﹣），设EB=x，则GE=2x，得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=AD=3， 由折叠的性质得：FC′=FC，∠C′FE=∠CFE=60°，∠FC′B′=∠C=90°，B′E=BE，∠B′=∠B=90°， ∴∠DFC′=60°， ∴∠DC′F=30°， ∴FC′=FC=2DF， ∵DF+CF=CD=3，[来源:学科网] ∴DF+2DF=3， 解得：DF=1， ∴DC′=DF=， 则C′A=3﹣，AG=（3﹣）， 设EB=x， ∵∠B′GE=∠AGC′=∠DC′F=30°