【新教材精创】1.2 空间向量基本定理（导学案）-人教A版高中数学选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 1.掌握空间向量基本定理. 2.了解空间向量正交分解的含义. 3.会用空间向量基本定理解决有关问题. 重点：掌握空间向量基本定理 难点：用空间向量基本定理解决有关问题. 一、温故知新 1． 平面向量基本定理及其证明，其证明过程为：[来源:Z.xx.k.Com] 　　 ①平移：将平移成同一始点的向量． ②平行投影：过平移后所得向量的终点分别作平移后所在直线的平行线与这两条直线分别相交，得在方向上的分向量． ③依据共线向量定理，分别用表示在方向上的分向量． ④求分向量的和，代入，定理得证． 平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面内两个不共线向量来线性表示． 一、情境导学 我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ 二、探究新知 知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？ 因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。 探究 如图1.2-1， 设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点o，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ，而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ . 空间向量基本定理 1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使得p=xa+yb+zc. 2.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共 面的向量都可以构成空间的一个基底. 3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示. 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk, 使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向