考点05 函数的周期性与对称性-2021年新高考数学一轮复习考点扫描

考点5 函数的周期性与对称性 【考点剖析】 一．最新考试说明： 1．理解函数的周期性，会判断函数的周期性． 【例】(2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足． 若，则 A． B．0 C．2 D．50 【例】(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时， ；当 时，，则f(6)= A．−2 B．−1 C．0 D．2 2．理解函数的对称性，会判断函数的对称性． 【例】【2020年高考天津卷3】函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【例】(2016全国II) 已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则 A．0 B．m C．2m D．4m 3．利用函数周期性、对称性求函数值及求参数值． 【例】(2014新课标Ⅱ)偶函数的图像关于直线对称，，则=___． 【例】(2014四川)设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ． 二．命题方向预测： 1．利用函数的周期性、对称性求函数的值、求函数的零点、求方程的根、研究函数的图象是历年高考考查的热点． 2．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题． 三．课本结论总结： 1．若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和． 2．函数与函数的图像关于直线（轴）对称． 3．函数与函数的图像关于直线（轴）对称． 4．函数与函数的图像关于坐标原点中心对称． 5．函数与函数的图像关于直线对称． 6.定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|. 7.若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝(a>0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期． ，f(x＋a)＝－ 8.对称性与周期的关系： (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期． 四、名师二级结论： 一条规律 若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 两个应用 1．已知函数的周期性求函数的值． 2．已知函数的对称性研究函数的图象． 三种方法 求函数周期的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)公式法． 五、课本经典习题： (1)新课标人教A版必修四第46页习题1.4A组第10题 设函数 是以2为最小正周期的周期函数，且 时， ，求 的值。2 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式． (2新课标人教A版必修四第46页习题1.4B组第3题 已知函数 的图象如图所示，试回答下列问题： （1）求函数的周期；（2）画出函数 的图象；（3）你能写出函数 的解析式吗？ 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展． 六．考点交汇展示： (1) 函数的对称性与方程的根交汇 例1．（2020·四川三台中学实验学校高三）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（ ） A．4 B．5 C．6 D．12 (2) 函数的周期性与方程的根交汇 例2．【2017江苏，14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上, 其中集合，则方程的解的个数是 . (3) 函数的对称性与函数图象交汇 例3．（2020·河南南阳中学高三月考（理））已知定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， .函数 ，则 与 的图象所有交点的横坐标之和为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 (4) 函数的对称性与函数的零点交汇 例4．（2020·湖北高三）已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ） A．9 B．10 C．18 D．20 (5) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题 例5. 【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为 2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区 间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ . 【考点分类】 热点一 函数的周期性 1．（2020·江西高三）设 是定义在 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间 上的图象，则 （ ） A．0 B．1 C． D．2 2．（2020·湖南高三）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为( ) A． B．3