考点07 指数函数与对数函数-2021年新高考数学一轮复习考点扫描

考点7 指数函数与对数函数 【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题. 【2020年高考全国Ⅲ卷文数10】设 ，则 （ ） A． B． C． D． 【2020年高考全国Ⅰ卷理数12】若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【2020年高考全国Ⅱ卷文数12理数11】若 ，则 （ ） A． B． C． D． 2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 【2020年高考全国Ⅲ卷理数12】已知 ．设 ，则 （ ） A． B． C． D． 【2020年高考全国Ⅰ卷文数8】设 ，则 （ ） A． B． C． D． 3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题. 【2020年高考全国Ⅲ卷文理数4】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 （ 的单位：天）的Logisic模型： ，其中 为最大确诊病例数．当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ） （ ） A． B． C． D． 2.命题方向预测： 1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点． 2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想． 3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想． 4.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 3.课本结论总结： 指数与指数函数 1．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质 对数与对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝ logaM. (2)对数的性质 ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝ ，推广logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与性质 4.名师二级结论： （1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． （2）指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． （3）换元时注意换元后“新元”的范围． （4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． （5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． （6）对数值的大小比较方法 化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较． 5.课本经典习题： (1)新课标A版第 70 页，B组第 2 题 指数函数 的图象如图所示，求二次函数 的顶点的横坐标的取值范围． 【解析】由图可知指数函数 是减函数，所以 ．而二次函数 的顶点的横坐标为 ，所以 ，即二次函数 的顶点的横坐标的取值范围是 ． 【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合 (2)新课标A版第 60 页，B组第 4 题 设 其中 确定 为何值时，有： 【解析】（1）3x+1=-2x时，得x=- ; (2) 时， 单调递增，由于 ，得3x+1>-2x得x>- , ， 单调递减，由于