第14课 均值不等式-2020-2021学年高一数学课时同步练（新人教B版2019必修第一册）

第二单元 等式与不等式 第14课 均值不等式 一、基础巩固 1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t　　　　　　　 B．s>t C．s≤t D．s<t 2．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥2 D．x2＋≥ 3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　) A．ab≤2 B．ab≤ C.2≤ D.≥ 4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞ ＞ B．a＞＞b ＞ C．a＞＞b＞ D.a＞＞b ＞ 5．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　) A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 6．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为(　　) A． B．3 C． D．1 7．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________． 8．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长． 二、拓展提升 9．下列不等式一定成立的是(　　) A．x＋≥≥2　　　　　 B. C.≥2 ≥2 D．2－3x－ 10．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________． 11．设a，b为非零实数，给出不等式： ①； ≥2；③≥≥ab；② ④≥2. ＋ 其中恒成立的不等式是________． 12．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞. ＋＋ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第二单元 等式与不等式 第14课 均值不等式 一、基础巩固 1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t　　　　　　　 B．s>t C．s≤t D．s<t 【答案】A 【解析】∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1. 2．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥2 D．x2＋≥ 【答案】D　 【解析】a＜0，则a＋≥4不成立，故A错； a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错； a＝4，b＝16，则，故C错；＜ 由均值不等式可知D项正确． 3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　) A．ab≤2 B．ab≤ C.2≤ D.≥ 【答案】D　 【解析】由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由2，故选D. ≥2，∴≥ab得，ab≤ 4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞ ＞ B．a＞＞b ＞ C．a＞＞b＞ D.a＞＞b ＞ 【答案】B　 【解析】a＝＝b，因此只有B项正确． ＞＞＞ 5．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　) A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 【答案】C 【解析】∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2， ∴b＝2－a(0≤a≤2)， ∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1. ∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误； a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4 ＝2(a－1)2＋2. ∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C． 6．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为(　　) A． B．3 C． D．1 【答案】C 【解析】∵x>0，y>0,2x＋3y＝6， ∴xy＝)2·((2x·3y)≤ ＝， )2＝·( 当且仅当2x＝3y， 即x＝. ，y＝1时，xy取到最大值 故选C． 7．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以的最小值为9. 时，等号成立，所以＋5＝9，当且仅当x＝4y＝＋5≥2＋＋y)＝)·(＋＝( 8．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长． 【答案】5(cm) 【解析】设一条直角边长为x cm，(0<x<10)，则另一条直角边长为(10－x)cm， 面积s＝(cm2) ]2＝[x(10－x)≤ 等号在x＝10－x即x＝5时成立， ∴面积最大时斜边长L＝(cm)． ＝5＝ 二、拓展提升 9．下列不等式一定成立的是(　　) A．x＋≥≥2　　　　　 B. C.≥2 ≥2 D．2－3x－ 【答案】B　 【解析】A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误． B项中，，∴B正确．≥＝ 而对于C，，－＝ 当x＝0时，<2，显然选项C不正确．＝ D项中取x＝1,2－3x－<2，∴D错误． 10．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________． 【答案】2　 【解析】xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”． 11．设a，b为非零实数，给出不等式：