第15课 均值不等式的应用-2020-2021学年高一数学课时同步练（新人教B版2019必修第一册）

第二单元 等式与不等式 第15课 均值不等式的应用 一、基础巩固 1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2　　　　B．a　　　　C.　　　　D．3 2．已知x＜0，则y＝x＋－2有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 4．若x＞0，y＞0，且＝1，则x＋y的最小值是(　　) ＋ A．3 B．6 C．9 D．12 5. 若关于x的不等式 对任意的 恒成立，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若 ,则 的最小值是（ ） A. B. C.4 D.2 7. 某工厂第一年产量为 ,第二年增长率为 ,第三年的增长率为 ,这两年的平均增长率为 ,则(   ) A. B. C. D. 8. 已知 均为正实数,求证: . 二、拓展提升 9. 若实数 满足 ,则 的最小值为（ ） A. 8 B.6 C.4 D.2 10. 设 若 ，则 的最小值为______． 11. 若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 12. 在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝，试求这两个数． ＋ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第二单元 等式与不等式 第15课 均值不等式的应用 一、基础巩固 1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2　　　　B．a　　　　C.　　　　D．3 【答案】D　 【解析】∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＋1＝3. ＋1≥2＝a－1＋ 2．已知x＜0，则y＝x＋－2有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 【答案】C　 【解析】∵x<0，∴y＝－，即x＝－1时取等号． －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝ 3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 【答案】C　 【解析】∵x＞0，∴y＝3－时，等号成立． ，且x＞0，即x＝.当且仅当3x＝＝3－2≤3－2 4．若x＞0，y＞0，且＝1，则x＋y的最小值是(　　) ＋ A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C　 【解析】x＋y＝(x＋y)·＋4＋＝1＋ ＝5＋＝5＋4＝9.≥5＋2＋ 当且仅当 即时等号成立，故x＋y的最小值为9. 5. 若关于x的不等式 对任意的 恒成立，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 ,所以 (当且仅当 时等号成立），所以由题意，得 ，解得 ,故选C. 6. 若 ,则 的最小值是（ ） A. B. C.4 D.2 【答案】A 【解析】 ，当且仅当 时等号成立. 7. 某工厂第一年产量为 ,第二年增长率为 ,第三年的增长率为 ,这两年的平均增长率为 ,则(   ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 这两年的平均增长率为 ， ， ， ，当且仅当 ，即 时取等号. 8. 已知 均为正实数,求证: . 【答案】见解析 【解析】∵ ，当且仅当 时等号成立， ∴ ， ∴ ， ∴ ，① 同理 ，② .③ ①+②+③，得 ，当且仅当 的时等号成立. 二、拓展提升 9. 若实数 满足 ,则 的最小值为（ ） A. 8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 【解析】实数 满足 ，则 ,当且仅当 且 时等号成立.故选C. 10. 设 若 ，则 的最小值为______． 【答案】9 【解析】因为 ，且 ， 且 ， ， 当且仅当 时取等号， 结合 可解得 且 ， 故所求最小值为9 故答案为：9 11. 若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 【答案】　 【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤(x＋y)2≤1.2＋1.∴ 12. 在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝，试求这两个数． ＋ 【答案】见解析 【解析】设＝1，a，b∈N*，＋ ∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b) ＝1＋9＋＋ ≥10＋2 ＝10＋2×3＝16， 当且仅当，即b＝3a时等号成立．＝ 又＝1，∴a＝4，b＝12.＋＝1，∴＋ 这两个数分别是4,12. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$