2.2.4　均值不等式及其应用-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册课件(共34张PPT)

2.2.4　均值不等式及其应用 激趣诱思 知识点拨 某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的重量a和b,然后就把两次称得的重量的算术平均数 作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑,那么这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢?你能用学过的知识帮助他解决这个问题吗? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、均值不等式 激趣诱思 知识点拨 名师点析1.重要不等式 对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.不等式a2+b2≥2ab的变形 这两个变形体现了两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值. 激趣诱思 知识点拨 3.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的异同 激趣诱思 知识点拨 4.均值不等式的变形 第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值. 激趣诱思 知识点拨 微思考 均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论. 提示:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥2 中,a,b>0. (2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同). (3)证明的方法都是作差比较法. (4)都可以用来求最值. 激趣诱思 知识点拨 微练习 答案:B 激趣诱思 知识点拨 (2)已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(　　) A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值 C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0 解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2. 答案:A 激趣诱思 知识点拨 知识点二、重要结论 已知x,y都为正数,则 名师点析利用均值不等式求最值注意事项 在应用均值不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可. 激趣诱思 知识点拨 二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用均值不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形. 另外,在连续使