专题05 圆的有关性质（专题详解）-2020-2021学年九年级数学上学期章末知识点专题详解（人教版）

专题05 圆的有关性质专题详解 专题05 圆的有关性质专题详解 1 24.1 圆的有关性质 2 知识框架 2 一、基础知识点 3 知识点1 圆的定义 3 知识点2 圆是轴对称图形 3 知识点3 垂径定理 4 知识点4 垂径定理的推论和重要公式 4 知识点5 弧、弦、圆心角之间的关系 5 知识点6 圆的对称性 6 知识点7 圆周角定理 6 知识点8 圆周角推论 7 知识点9 内接四边形 8 二、方法与思路 9 方法1 圆的半径 9 方法2 利用转化思想求角度 10 方法3 构直径和直角 12 方法4 垂径定理与勾股定理 13 方法5 角平分线 17 方法6 圆与等腰 20 三、典型题型 23 题型1 利用圆的半径解题 23 题型2 垂径定理的证明与计算 24 题型3 垂径定理的应用 25 题型4 弧、弦、圆心角关系的计算 26 题型5 弧、弦、圆心角关系的证明 27 题型6 运用圆周角定理建立角之间的关系 28 题型7 内接四边形 29 四、难点题型 30 题型1 圆的多解 30 题型2 弧、弦间不等关系的推理 31 题型3 最值问题（对称性问题） 32 24.1 圆的有关性质 知识框架 一、基础知识点 知识点1 圆的定义 1）圆： 形成的定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 2） ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 3）确定一个圆的两要素 4）圆的任一半径长度都相等 5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 6）同圆（半径相等的圆），等长弧对应的弧相等 7）C=2r S= 注：①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧； ③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的，不仅指弧长相等，弧度也相等。 例1.下列说法正确的是（ ） A.弦是直径 B.直径是弦 C.半径是直径的一半 D.弧是半圆 例2.下列结论正确的有： ①直径是弦；②直径只有一条；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤过圆内一点只能作一条直径 知识点2 圆是轴对称图形 1）圆是轴对称图，对称轴为直径，有无数条 例1.圆是轴对称图形，任何一条 都是圆的对称轴。 例2.如图，把和这两个圆看作一个整体，它是一个轴对称图形，这个图形的对称轴是 。 知识点3 垂径定理 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB ∴= = 例1.如图，在O中，OC⊥AB交于点D，交AB于C点，OD=13，AB=24，求CD的长。 例2.如图，O的直径为10，弦AB为8，OC⊥AB，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，求满足条件的点P有几个。 知识点4 垂径定理的推论和重要公式 1）知二推三（推论） ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④=；⑤= 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 2）重要公式：设半径为R，，=h，根据勾股定理： 圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。 例1.按图填空：如图，在O中， （1）若MN⊥AB，MN为直径，则 、 、 ； （2）若AB=BC，MN为直径，则 、 、 ； （3）若MN⊥AB，AC=BC，则 、 、 ； （4）若，MN为直径，则 、 、 。 例2.如图，在O中，弦AB=8cm，拱高CD=2，CD⊥AB，求O的半径。 知识点5 弧、弦、圆心角之间的关系 1）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角 2）规定旋转一周为360°，即圆周角为360° 3）①C=2r