专题07 正多边形和圆、弧长和扇形的面积（专题详解）-2020-2021学年九年级数学上学期章末知识点专题详解（人教版）

专题07 正多边形和圆、弧长和扇形的面积专题详解 专题07 正多边形和圆、弧长和扇形的面积专题详解 1 24.3 正多边形和圆 2 知识框架 2 一、基础知识点 2 知识点1 正多边形与圆的相关概念 2 知识点2 正多边形中各元素间的关系 2 二、典型题型 4 题型1 正多边形有关计算 4 24.4 弧长和扇形的面积 5 知识框架 5 一、基础知识点 5 知识点1 弧长公式 5 知识点2 扇形面积公式 5 知识点3 弓形面积 6 知识点4 圆锥的侧面展开图 6 二、典型题型 8 题型1 弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算 8 题型2 不规则图形面积 12 三、难点题型 15 题型1 最短距离 15 24.3 正多边形和圆 知识框架 一、基础知识点 知识点1 正多边形与圆的相关概念 1）正多边形：各边、各角都相等的多边形 注：正多边形必须同时满足2个条件： ①每一条边都相等； ②每一个角都相等 2）正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角 3）正多边形都是轴对称图形，共有n条对称轴，每条对称轴都经过它的中心，当n为偶数时，正n边形还是中心对称图形。 例1.下列多边形中，是正多边形的是（ ） A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.正六边形 例2.下列多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.平行四边形 知识点2 正多边形中各元素间的关系 1）设正多边形的边长为，半径为R，边心距为，中心角为a 则有关系： 2）正多边形的一些关系： ①正n边形的中线角a=； ②正n边形的周长； ③正n边形的面积 例1.一个正多边形的中心角为90°，求它的边数。 例2.如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积。 二、典型题型 题型1 正多边形有关计算 解题技巧：正多边形的计算是，主要是多边形各元素间关系的转化与计算。主要方法为：连接正多边形的中心和顶点，并过中心作边的垂线，构造直角三角形，再利用相关几何知识计算求解。 常用的几何知识有： ①勾股定理；②垂径定理 例1.如图，正六边形ABCDEF内接于O，半径为4，求这个正六边形边心距OH的长。 例2.已知O的面积为2，求其内接正三角形的面积。 例3.如图，五边形ABCDE是O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论正确的有 。 ①∠BAC=36°；②PB=PC；③四边形APDE是菱形 例4.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 cm． 例5.有一个内角为60°的菱形的面积是，则它的内切圆的半径为 ___________ 24.4 弧长和扇形的面积 知识框架 一、基础知识点 知识点1 弧长公式 1）弧长与n°圆心角的关系：=2，公式不可强记，通过比例关系推导： 弧长=圆的周长×（n°圆心角的弧所占整个圆的比例） 即：=2 例1.一个扇形的圆心角为120°，半径为1，求此扇形的弧长。 例2.圆心角为75°的扇形的弧长是2.5，求扇形的半径。 知识点2 扇形面积公式 1）扇形面积S与n°圆心角的关系：S= 扇形面积S=圆的面积×（比例） 即：S= 2）弧长和扇形面积合并，推导得：S= S=2 （便于记忆，可理解为三角形面积公式，—底；R—高） 例1.一个扇形的圆心角是120°，它的面积为3，求这个扇形的半径。 例2.一个扇形面积为3，弧长为2，求圆心角。 知识点3 弓形面积 1）弓形面积可以看作使扇形面积和三角形面积的分解与组合，实际应用时，可根据图形直接选用下列公式： ①当弓形所含的弧是劣弧时 有： ②当弓形所含的弧时优弧时 有： 例1.如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，求图中阴影部分的面积。 知识点4 圆锥的侧面展开图 1）圆锥侧展开图与扇形的关系：圆锥的侧面展开是一个扇形，其半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 2）圆锥高h，母线与半径r关系： 3）圆锥底面半径为r，母线长为，底面周长为C，则侧面积S= 4）圆锥全面积=侧面积+底面积= 注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。 例1.圆锥的母线长为13，底面半径为5，求圆锥的高。 例2.圆锥的底面半径为3，高为4，求圆锥的侧面