专题04 反比例函数（知识点串讲）-2020-2021学年九年级数学上册期中期末考点大串讲（沪科版）

专题04 反比例函数（知识点串讲） 【知识点--考点思维导图】 ◉知识点一、反比例函数的性质 1.反比例关系 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么这两个变量成反比例。用数学式子表示两个变量成反比例，就是，或表示为，其中是不为零的常数。 2.反比例函数的概念 定义：解析式形如(是常数，)的函数叫做反比例函数，其中也叫比例系数。反比例函数的定义域是不等于零的一切实数。 注意：①反比例函数还可以表示为(是常数，)，自变量的指数为。 ②注意的条件，否则不是反比例函数。 ③反比例函数中，两个变量成反比例关系：由，因为是常数，，两个变量的乘积是定值，所以与成反比例关系；而正比例函数()是正比例关系；由，因为为不等于零的常数，两个变量的商是定值。 反比例函数由系数确定，只要一个独立条件(一组非零对应值)就可以求出函数解析式。 3.反比例函数的图像与性质 反比例函数(是常数，)的图像是双曲线，它有两支，与坐标轴无限接近又不相交。两支曲线的形状相同，关于原点对称。画反比例函数图像时应注意以下几点： (1)画反比例图像的方法是描点法； (2)要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支联结起来； (3)由于都不为零，画出的双曲线两个分支要体现出无限接近坐标轴，但永远不能达到轴和轴的变化趋势。 反比例函数(是常数，)的图像具有如下性质： (1)当时，函数图像的两支在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时， 的值随着逐渐减小. (2)当时，函数图像的两支在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时， 的值随着逐渐增大. 总结：反比例函数的定义、图像和性质如下表： 函数 反比例函数 定义 形如(是常数，)的函数叫反比例函数 定义域 可以取不等于零的一切实数 图像 是与坐标轴无限接近但不相交的双曲线 性质 图像经过第一、三象限；在每一象限内，随的增大而减小。 图像经过第二、四象限； 在每一象限内，随的增大而增大。 ◎考点1 反比例函数的概念 例1（2020·海南省中考真题）下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A．（－1，8） B．（－2，4） C．（1，7） D．（2，4） 练习1（2020·黑龙江省初二期末）已知点（3，﹣4）在反比例函数的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣2，6） D．（2，6） 练习2（2019·山东省初三期末）反比例函数y＝图象经过A（1，2），B（n，﹣2）两点，则n＝（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 ◎考点2 反比例函数基本性质 例1（2019春•盐城期末）已知反比例函数y，下列结论中不正确的是（　　） A．其图象分别位于第二、四象限 B．其图象关于原点对称 C．其图象经过点（2，﹣4） D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 练习1（2019春•文登区期末）已知函数y＝（a+3）xa+1是反比例函数，则此反比例函数的图象在（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 练习2（2018秋•滨海新区期末）已知反比例函数y，当1＜y＜3时，x的取值范围是（　　） A．0＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜6 D．x＞6 练习3（2019•河东区一模）已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（　　） A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1 ◉知识点二、反比例函数中k的几何意义 一、反比例函数的几何意义 1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为 二、利用k的几何意义进行面积转化 1.如图，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、， 那么，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，就比较低 2.如图，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则根据的几何意义可得，，而，所以，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。 ◎考点3 反比例函数图像 例1（2020·辽宁省初三期末）对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．图象经过点（1，﹣2） D．若x＞1，则﹣2＜y＜0 练习1（2020·安徽省初三期末）若双曲线y=在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k≥3 C．k＞3 D．k≠3 练习2（2020·山东省初三期末）关于反比例函数，下列说法不正