【新教材精创】1.1 空间向量及其运算（提高练习）-人教A版高中数学选择性必修第一册

1.1 空间向量及其运算--提高练 一、选择题 1．（2020·辽宁葫芦岛市高二期末）在下列结论中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得. 其中正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错． 两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错， 三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，需不共面，故④错．综上，选A． 2．（2020广东湛江市高二期末）如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，在平行六面体中， ，故选：C 3．（2020江西宜春市高二期中）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在四面体中，点在上，且，为中点， 所以， 即.故选：B. 4．己知，，是空向单位向量，且满足，若向量，.则在方向上的投影的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易得是空间中两两夹角为60°的单位向量.如下图， 构造棱长为1的正四面体，使得， 在射线上取点，使得 设，则，由三点共线知在直线上. 由定义知在方向上的投影= 作点在平面上的射影.由最小角定理，当且仅当向量与向量同向时，最小，最大.即.故选：D. 5．（多选题）下列命题是真命题的是（ ） A．若，则的长度相等而方向相同或相反 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若两个非零向量与满足，则 D．若空间向量，满足，且与同向，则 【答案】BC 【解析】A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误； B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；D. 若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.故选：BC 6．（多选题）（2020福建莆田一中高二期末）如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A．平面平面 B．不是定值 C．三棱锥的体积为定值 D． 【答案】ACD 【解析】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；B. ，故，故B不正确； C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确； D.，，，所以平面，平面，所以，故D正确.故选：ACD 二、填空题 7．如图在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______. 【答案】 【解析】在四面体中，、分别是、的中点， 则 . 8．在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 . 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则 .,又. 又.设异面直线与所成角为则 . 9．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________. 【答案】1; . 【解析】 取的中点， ，又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为 ， 10．（2020上海复旦附中高二期中）已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________ 【答案】 【解析】设.则,,. 由为底面中心, 又因为四点共面,所以且. 所以，即 即. 三、解答题 11．试证：若坐标平面内的三点，，共线，为坐标原点，则存在三个均不为零的实数，，，使得，且，反之也成立. 【答案】见解析 【解析】证明：①若，则，∴. 又， ∴， ∴，∴，∴，，三点共线. ②若，，三点共线，则存在常数，使， ∴，∴， 令，，，则由且，知，，，不为零， ∴，且. 12.（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，四棱锥的底面是矩形，，且底面. （1）求向量在向量上的投影； （2）若线段上存在异于的一点，使得，求 的最大值. 【答案】（1）；（2）1. 【解析】 （1）连接平面平面ABCD 故向量在向量上的投影为： （２）连接平面平面ABCD ，又 平面SAP，又平面ADP 设 ， 当时，的最大值为１． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 空间向量及其运算--提高练 一、选择题 1．（2020·辽宁