第二章 第13节 导数的综合应用-2021高考数学【创新教程】大一轮高考总复习课件（新高考版）(共134张PPT)

高 考 总 复 习 数学新高考 第二章 函数、导数及其应用 第13节 导数的综合应用 第二章 课时作业 课时作业 课时作业 课时作业 核心素养系列 最新考纲 核心素养 考情聚焦 1.理解并掌握利用导数解决不等式的恒成立、能成立问题． 2.理解并掌握利用导数比较大小、证明不等式． 3.理解并掌握利用导数研究函数的零点问题 1.利用导数证明不等式，发展逻辑推理和数学运算素养． 2.利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题，提升逻辑推理和数学运算素养． 3.利用导数研究函数的零点问题，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养 导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用 第二章 课时作业 课时作业 课时作业 课时作业 核心素养系列 第一课时　利用导数证明不等式　对应学生用书P48 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用导数证明不等式是高考考查的重点和热点，常转化为函数的单调性、最值问题求证．　　 第二章 课时作业 课时作业 课时作业 课时作业 核心素养系列 考点一　构造法证明一元不等式 [典例]　(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝eq \f(ax2＋x－1,ex). (1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0. 第二章 课时作业 课时作业 课时作业 课时作业 核心素养系列 [解析]　(1)由题意：f(x)＝eq \f(ax2＋x－1,ax)得f′(x)＝eq \f(2ax＋1ex－ax2＋x－1ex,ex2)＝ eq \f(－ax2＋2ax－x＋2,ex)；∴f′(0)＝eq \f(2,1)＝2；即曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线斜率为2， ∴y－(－1)＝2(x－0)，即2x－y－1＝0. 第二章 课时作业 课时作业 课时作业 课时作业 核心素养系列 (2)当a≥1时，f(x)＋e≥eq \f(x2＋x－1＋ex＋1,ex)， 令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1，g′(－1)＝0，g′(x)在R上为增函数． 当x＜－1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x＞－1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增． 所以g(x)≥g(－1)＝0. 因此当a≥1，f(x)＋e≥0. 第二章 课时作业 课时作业 课时作业 课时作业 核心素养系列 利用导数法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明h(x)>0.若函数f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max；若函数f(x)与g(x)的最值不易求出，可对h(x)＝f(x)－g(x)适当变形后进行转化． 第二章 课时作业 课时作业 课时作业 课时作业 核心素养系列 [跟踪训练] (2020·莆田市一模)已知函数p(x)＝eq \f(ln x,x)，q(x)＝eq \f(1,2)x2－(1＋2a)x. (1)讨论函数f(x)＝q(x)＋2ax·p(x)的单调性； (2)当a＝0时，证明：xp(x)＋q(x)＜ex＋eq \f(1,2)x2－x－1. 第二章 课时作业 课时作业 课时作业 课时作业 核心素养系列 解：(1)f(x)＝eq \f(1,2)x2－(1＋2a)x＋2aln x，定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝x－(1＋2a)＋eq \f(2a,x)＝eq \f(x－1x－2a,x). ①当a≤0时，x－2a＞0， ∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 第二章 课时作业 课时作业 课时作业 课时作业 核心素养系列 ②当0＜a＜eq \f(1,2)时，0＜2a＜1，∴当0＜x＜2a或x＞1时，f′(x)＞0，当2a＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,2a)上单调递增，在(2a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ③当a＝eq \f(1,2)时，f′(x)＝eq \f(x－12,x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ④当a＞eq \f(1,2)时，2a＞1，∴当0＜x＜1或x＞2a时，f′(x)＞0，当1＜x＜2a时，f′(x)＜0， 所以，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2a)上单调递减，在(2a，＋∞)上单调递增． 第二章 课时作业 课时作业 课时作业 课时作业 核心素养系列 (2)证明：