21.4第1课时几何图形的最大面积（基础练)-2020-2021学年九年级数学上学期十分钟同步课堂专练(沪科版)

21.4第1课时几何图形的最大面积（基础练) 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作PE∥BC交AC于点E，过E点作EF⊥BC于点F，设△ABP的面积为S1，四边形PDFE的面积为S2，则点P在运动过程中，S1+S2的最大值为______． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，其顶点为，且直线的解析式为． (1) 求二次函数的解析式． (2) 求△ABC外接圆的半径及外心的坐标； (3) 若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ ( 21.4第1课时几何图形的最大面积（基础练) ) 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作PE∥BC交AC于点E，过E点作EF⊥BC于点F，设△ABP的面积为S1，四边形PDFE的面积为S2，则点P在运动过程中，S1+S2的最大值为______． 【答案】72． 【解析】 【分析】 利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后确定最值即可． 【详解】 ∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高， ∴AD=BD=CD=8cm， 又∵AP=t， 则S1=AP•BD=×8×t=8t，PD=8-t， ∵PE∥BC， ∴△APE∽△ADC， ∴， ∴PE=AP=t， ∴S2=PD•PE=（8-t）•t， ∴S1+S2=8t+（8-t）•t=-2（t-6）2+72． ∴S1+S2的最大值为72， 故答案为72． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，其顶点为，且直线的解析式为． (1) 求二次函数的解析式． (2) 求△ABC外接圆的半径及外心的坐标； (3) 若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值． 【答案】（1）；（2）半径=；外心坐标（1，1）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）抛物线与直线CD的函数图象交于y轴上的点C，那么这两个函数的解析式中的常数项相同，即c=3，因此只需求出b的值即可；首先用b表示出抛物线的顶点坐标，而这个顶点恰好在直线CD上，因此代入直线CD的解析式中即可得到待定系数b的值，由此得解． （2）△ABC的外心到三角形三个顶点的距离都相同，即为△ABC的外接圆半径；因此先设出该外心的坐标，然后表示出三个半径长，令它们相等即可，可据此思路解题． （3）四边形ACPB中，△ABC的面积是个定值，因此△CPB的面积最大时，四边形的面积最大；可以过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，首先要求出线段PE的长度表达式，以PE为底、OB为高，即可得到△CPB的面积表达式，由此可得到关于四边形ACPB面积的函数表达式，再根据函数的性质解题即可． 【详解】 解：（1）∵二次函数：y=-x2+bx+c的图象与直线DC：y=x+3交于点C， ∴c=3，即C（0，3）； 二次函数 y=-x2+bx+3中，顶点D （，），代入直线DC ：y=x+3中，得： +3=， 解得 b1=0（舍）、b2=2； 故二次函数的解析式：y=-x2+2x+3． （2）由（1）的抛物线解析式知：A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）； 设△ABC的外心M（x，y），则： AM2=（x+1）2+y2、BM2=（x-3）2+y2、CM2=x2+（y-3）2； 由于AM=BM=CM，所以有：， 解得 ， 此时 AM=BM=CM=； ∴△ABC的外接圆半径为，外心的坐标（1，1）． （3）如右图， 过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E； 由B（3，0）、C（0，3）知，直线BC：y=-x+3； 设点P（x，-x2+2x+3），则E（x，-x+3）， PE=-x2+2x+3-（-x+3）=-x2+3x； 则S四边形ACPB=S△ACB+S△CPB=AB•OC+PE•OB S四边形ACPB=×4×3+×（-x2+3x）×3=-（x-）2+； 综上，四边形ACPB的最大面积最大值为． 【点评】此题主要考查的是：函数解析式的确定、三角形的外接圆以及图形面积的求法等知识；（3）题的解法较多，还可以过点P作x轴的垂线，将四边形的面积分割成两个小直角三角形以及一个直角梯形三部分，解此类题目要注意结合图形，找出相关图形间的面积和差关系，根据已知条件选择简便的解题方法． ( 1 )原创精品资