第一讲 菱形的性质与判定（基础讲解）-2020-2021学年九年级数学上册基础讲练（北师大版）

第一讲 菱形的性质与判定 一、菱形：有一组邻边相等的平行四边形 菱形性质： 1． 两条对角线互相垂直平分； 2． 四条边都相等； 3． 每条对角线平分一组对角； 4． 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。 二、菱形的性质证明 已知：如图，菱形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，求证AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 提示：利用“平行四边形的对角线互相平分”和等腰三角形“三线合一”的性质进行证明。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在等腰三角形ABD中 ∵BO=OD ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD 同理AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 知识点解读：菱形ABCD的对角线互相垂直，即把菱形分成四个全等的直角三角形，它们的底和高分别是两条对角线的一半，所以利用三角形的面积可以得出菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。 三、菱形的判定定理 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线） 3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边） 4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（对角线和角的关系） 判定定理1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直. 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC（平行四边形的对角线相互平分）。 又∵AC⊥BD， ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线， ∴ AB＝BC，[来源:学科网] ∴ 四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 例1：如图已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE是菱形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC（平行四边形的对边平行）， ∴ ∠1＝∠2． ∵ EF平分AC， ∴ AO＝OC． 又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE≌△COF（ASA）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 判定定理2 四条边都相等的四边形是菱形 已知：如图，四边形ABCD