第二讲 矩形的性质与判定（基础讲解）-2020-2021学年九年级数学上册基础讲练（北师大版）

第二讲 矩形的性质与判定 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 二、矩形的性质 矩形具有平行四边形的一切性质。 （1）边：对边平行且相等。 （2）角：四个角都是直角。 （3）对角线：互相平分且相等。 三、矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）对角线相等的平行四边形。 （3）有三个角是直角的四边形。 四、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。[来源:学科网ZXXK] 已知：如图3-2-2，BO是Rt△ABC斜边AC的中线，求证：BO= AC 证明：过点A作AD∥BC与BO的延长线交于点D，连接CD。 ∴∠OCB=∠OAD ∵O是AC的中点， ∴AO=OC 又∵∠BOC=∠AOD ∴△BOC≌△AOD [来源:学科网ZXXK] ∴AD=BC 又∵∠ABC=90° [来源:学*科*网Z*X*X*K] ∴四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD BO= BD= AC 点评：证明这个推论的关键是构造辅助图形矩形，且构造方法不唯一，还可以延长BE到D，使BE=ED，再连AD、CD再证四边形ABCD是矩形，在证明时需用到矩形的对角线互相平分的性质，对于特殊平行四边形也有平行四边形的所有性质。 五、和矩形有关的折量问题 1、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在E处，BE交AD于F，连接AE。求证BF=DF 分析：要证明BF=DF，可证明△ABF≌△EDF，也可以证明∠FBD=∠FDB 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD，∠BAD=∠C=90° 又∵Rt△BCD≌Rt△BED ∴∠BED=∠C=90°，DC=DE ∴AB=ED ∠BAD=∠BED[来源:学科网ZXXK] ∠AFB=∠EFD（对顶角） ∴△ABF≌△EDF（AAS） ∴BF=DF 2、如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积． 思路分析：（1）根据矩形的对角线相