第三讲 正方形的性质与判定（基础讲解）-2020-2021学年九年级数学上册基础讲练（北师大版）

第三讲 正方形的性质与判定 一、正方形的定义 一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。它包含两层意思：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形。 二、正方形的性质 正方形具有矩形和菱形的一切性质。 （1）边：对边平行，四边相等。 （2）角：四个角是直角。 （3）对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。 三、正方形的判定 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）有一个角是直角的菱形是正方形。 （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F． 求证：四边形ECFD是正方形． 证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴四边形DECF是矩形，∵DE=DF， ∴矩形DECF是正方形． 2、如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求证：四边形是正方形． E C D B A O （1）已知四边形ＡＢＣＤ为平行四边形 所以OA=OC 因为三角形ＡＣＥ是等边三角形 所以ＯＥ垂直于ＡＣ即BD垂直于ＡＣ 　　　　　所以四边形ＡＢＣＤ为菱形 （2）因为三角形ＡＣＥ是等边三角形且OA=OC 所以ＯＥ为∠AEC的角平分线 ∠AED=∠AEC/2=30° 又知∠ＡＥＤ＝２∠ＥＡＤ 所以 ∠ＥＡＤ=15° 因为三角形ＡＣＥ是等边三角形 所以∠ＤAC=45°同理:∠BAC=45° ∠ＤAB=90° 因此四边形ＡＢＣＤ是正方形[来源:学#科#网Z#X#X#K] 3、以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形。 （1）当∠BAC满足＿＿＿＿时，四边形ADFE是矩形。 （2）当∠BAC满足＿＿＿＿时，平行四边形ADFE不存在。 （3）当△ABC分别满足什么条件时