专题13.3 等腰三角形-2020-2021学年八年级数学上册精讲精练（人教版）

专题13.3 等腰三角形 知识点1：等腰三角形 1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角． 2.等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． （2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、�底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． 3.等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 知识点2：等边三角形 1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形． 2.等边三角形的性质和判定： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点3：直角三角形的一个定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， 求：△ABC各角的度数． 【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，�那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB． 【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（　　） A． B． C． D．不能确定 【例题3】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC=BD.求证： (1)BC=AD； (2)△OAB是等腰三角形. 一、选择题 1.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（　　） A． B． C． D．不能确定 2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（　） A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC 3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（　　） A．2+2 B．2+ C．4 D．3 二、解答题 5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形． 6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE． 7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）． 求证：AB=AC． 8.已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD． 9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分线． 求证：BD=CE． 10.证明：等腰三角形两腰上的高相等． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分别是△ABC的高． 求证：BE=CF． 11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的中线． 求证：BD=CE． 12.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高． 求：CD的长． 13．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°． 求证：BD=AB． 14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段． 求证：其中一条是另一条的2倍． 已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线． 求证：CD=2AD． 15.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°． 16.已知，如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形． 求证：AN=BM． 17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，�CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？ 18.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC． （1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长． 1 原创精品