专题07 导数的应用-2018-2020年高考数学（理）真题命题规律

三年高考+命题规律 专题07导数的应用 命题规律 内 容 典 型 １ 利用导数研究函数的单调性 2018年高考全国Ⅱ卷理数 ２ 已知函数的单调性求参数范围 2019年高考北京理数 ３ 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值 2018年高考全国Ⅰ卷理数 ４ 已知函数在某点取极值求参数范围或值 2018年高考全国Ⅲ卷理数 ５ 利用导数求函数的最值 2019年高考全国Ⅲ卷理数 命题规律一 利用导数研究函数的单调性 【解决之道】用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数. 【三年高考】 1.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数的图像大致为 2.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数的图像大致为 3.【2018年高考天津理数】已知函数，，其中a>1. （I）求函数的单调区间； （II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明； （III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. 命题规律二 已知函数的单调性求参数范围 【解决之道】解决此类问题，先求出函数的导数，利用导数与函数的导数关系转化为导函数在某个区间上大于等于0（增函数）（或大于等于0（减函数））恒成立问题求解. 【三年高考】 1.【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 命题规律三 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值 【解决之道】解决此类问题的一般步骤为：(1)确定函数定义域；(2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根； (3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干个区间，列出表格，检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号，并得出结论． 【三年高考】 1.【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 2.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 命题规律四 已知函数在某点取极值求参数范围或值 【解决之道】解决此类问题常利用f′(x0)＝0列方程求参数，求出参数后还要检验所求参数值是否满足x0的极值点特征 【三年高考】 1.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 2.【2018年高考北京理数】设函数=[]． （Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a； （Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 命题规律五 利用导数求函数的最值 【解决之道】求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路：(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 【三年高考】 1.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 ▲ . 2.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，则的最小值是_____________． 3.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 4.【2020年高考江苏卷17】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式．己知点到的距离为米． （1）求桥的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元）（）， 问为多少米时，桥墩与的总造价最低？ 5.【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为． （1）用分别表示矩