专题08 导数与不等式、函数零点相结合-2018-2020年高考数学（理）真题命题规律

专题08导数与不等式、函数零点结合 三年高考+命题规律 命题规律 内 容 典 型 １ 已知不等式恒成立求参数范围 2020年高考全国Ⅰ卷理数21 ２ 证明双变量不等式 2020年高考天津卷20 ３ 利用导数证明单变量不等式 2020年高考全国Ⅱ卷理数21 ４ 求函数零点或判定函数零点位置或个数 2020年高考浙江卷22 ５ 已知函数零点个数求参数范围 2018年高考全国Ⅱ卷理数 命题规律一 已知不等式恒成立求参数范围 【解决之道】此类问题解法为：(1)构造函数分类讨论：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x) 或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． (2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y＝a与函数y＝v(x)图象的交点个数问题来解决． 【三年高考】 1.【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 2.【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围． 3.【2020年高考江苏卷19】已知关于的函数，与（，）在区间上恒有． （1）若，，，求的表达式； （2）若，，，，求的取值范围； （3）若，，，，求证：． 4.【2020年高考山东卷21】 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积； （2）若，求的取值范围． 5.【2019年高考浙江】已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意均有 求的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数． 命题规律二 证明双变量不等式 【解决之道】破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式； 二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．　　 【三年高考】 1.【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 命题规律三 利用导数证明单变量不等式 【解决之道】单变量不等式的证明有三种方法：①作差构造法，左减右构造函数，转化为求函数最值问题； ②隔离审查法，若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标． ③放缩法，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下： (1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号； (2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号； (3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号； (4)当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号； (5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号； (6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号． 【三年高考】 1.【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数． （1）讨论在区间的单调性； （2）证明：； （3）设，证明：． 2.【2019年高考天津理数】设函数为的导函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明． 3.【2018年高考浙江】已知函数f(x)=−lnx． （Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点． 命题规律四 求函数零点或判定函数零点位置或个数 【解决之道】函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题．对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：(1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”； (2)分离参数，将问题转化为：求直线y＝a与函数y＝f(x)的图象交点个数问题，即“求根问题要通变，分离参数放左边”．　 【三年高考】 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．