课时分层作业 29 空间的角的计算-2020-2021学年江苏省高二数学上册分层作业（新教材）

课时分层作业(二十九)　 (建议用时：40分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. D　[由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为.] ，又l、a为异面直线，则所成角的最大值为 2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. C　[取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝.] 3．如图所示，在正四棱锥P­ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8， 则侧面与底面所成的二面角为(　　) A. B. C. D. D　[设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则.]，即θ＝，∴sin θ＝＝，∴＝ 二、填空题 4．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________． [解析]　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则，所以有，n⊥＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥＝(1,1,0)，＝(0,1,0)， 令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，.＝〉|＝ [答案]　 5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________． [解析]　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)．，F 所以.＝＝(－1,0,1)， 设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒ 取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝. [答案]　 6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱长AA1和BB1的中点，则s