专题12.3 角的平分线的性质-2020-2021学年八年级数学上册精讲精练（人教版）

专题12.3 角的平分线的性质 1.角平分线的定义 将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。 2.作角平分线（尺规作图，四弧一线） 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求． INCLUDEPICTURE "http://res.tongyi.com/resources/article/student/others/0003/c2/c2sxf003.files/image003.gif" \* MERGEFORMAT    3.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP. 4.角平分线性质定理的逆定理： 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上. 5.角平分线的综合应用 （1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路； （2）实际生活中的应用． 6.证明命题基本方法 （1）明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） （2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 【例题1】已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B． 求证：PA＝PB． 【例题2】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB． 求证：点P在∠MON的平分线上． 【例题3】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． 【例题4】如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由. 【例题5】如图，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE(AB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE的周长是( ) A.15 B.12 C.9 D.6 一、选择题 1．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　） A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C．取AB中点C，连接PC D．过点P作PC⊥AB，垂足为C 2.如图，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE(AB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE的周长是( ) A.15 B.12 C.9 D.6 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　） A．44° B．40° C．39° D．38° 4．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 二、填空题 5.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为　 　． 6．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=　　 ． 7．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=____度． 三、解答题 8.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC． 9.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA. (1)求证：DE平分∠BDC； (2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD. 10. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由． 11.如图,在△ABC中，AD为角平分线，DE(AB于点E，DF(AC于点F，AB=10 cm，AC=8 cm，△ABC的面积是45 cm2，求DE的长． 12.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD(OA交OA于