专题十一：利用全等来证明三条线段之间的和差关系-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题十一：利用全等来证明三条线段之间的和差关系（带答案） 知识回顾 全等三角形考查的内容涉及到利用全等的性质来进行相关线段、角的计算及证明，其中证明三条线段之间的数量关系，是初二上学期考试的热点，也是学习中的难点，通过对全等三角形的性质的了解，学会处理在不同背景下的三条线段之间的数量关系，通过归纳梳理线段之间关系的常见类型，基本方法，有助于提高学生的观察、探究、概况与推理的思维能力. · 全等三角形性质运用的作用: 利用全等三角形的性质，我们可以处理线段之间的数量关系、位置关系，以及相应角度的求值、还有角度之间的对等及倍比关系的证明. · 较复杂图形中全等三角形的找法: 寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：把其中一个图形通过旋转、翻折、平移能与另一个图形全等，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，必要时要添加辅助线. · 辅助线知识点睛: 为了解决几何问题，在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线． 辅助线的原则： 添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 辅助线的作用： ①把分散的条件转为集中； ②把复杂的图形转化为基本图形． 添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试． 典型例题 类型一：较直观的全等来证明线段的和差[来源:Zxxk.Com] 【例1】如图，点B为AC上一点，AD∥CE，∠ADB=∠CBE，BD=EB． 求证：（1）△ABD≌△CEB； （2）AC=AD+CE． 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论． 【解答】（1）∵AD∥CE，∴∠A=∠C， 在△ABD与△CEB中，， ∴△ABD≌△CEB（AAS）； （2）∵△ABD≌△CEB，∴AD=BC，AB=CE，∵AC=AB+BC，∴AC=AD+CE． 类型二：添加辅助线构造全等证明线段和差 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE=∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．求证：BM=DM-DC． 【分析】作AN⊥CF于N，连接AD，先通过△AMB≌△ANC求得BM=CN=DN-DC，AM=AN，然后通过证明RT△AMD≌RT△AND得出DM=DN，即可求得BM=DM-DC． 【解答】如图，作AN⊥CF于N，连接AD， ∵AM⊥BD，∴∠AMB=∠ADC=90°， 在△AMB与△ANC中， ∴△AMB≌△ANC（AAS）∴BM=CN=DN-DC，AM=AN， 在Rt△AMD与Rt△AND中，， ∴Rt△AMD≌Rt△AND（HL）．∴DM=DN，∴BM=DM-DC． 强化练习 1．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC． （1）∠D和∠ECB相等吗？若相等，请说明理由； （2）△ADC≌△BCE吗？若全等，请说明理由； （3）能否找到与AB+AD相等的线段，并说明理由． 【解答】（1）相等，理由如下： ∵∠DCE=90°，∠DAC=90°，∴∠ECB＋∠ACD=90°，∠D＋∠ACD=90°．∴∠D=∠ECB； （2）全等，理由如下： 在△ADC和△BCE中，∴△ADC≌△BCE； （3）能，BE和AC，理由如下： ∵△ADC≌△BCE，∴AD=BC，AC=BE． ∵AC=AB＋BC，∴AC=AB＋AD．∴BE= AB＋AD． 2．如图，点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上，且PM=PN． （1）求证：BM=CN； （2）写出线段AM，AN与AC之间的数量关系   【解答】（1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF， ∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°． 在Rt△PBM和Rt△PCN中，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL）．∴BM=CN； （2）AM+AN=2AC，理由如下： 在Rt△PAB和Rt△PAC中，∴Rt△PAB≌Rt△PAC（HL）．∴AB=AC． 又∵BM=CN，∴AM+AN=（AB-MB）+（AC-CN）=AB+AC=2AC； 故答案为：AM+AN=2AC． 3．如图，点B，C，E三点在同一条直线上， CD平分∠ACE， DB=DA,DM⊥BE于M. （1）求证：AC=BM+CM； （2）若AC=2，BC=1，求CM的长. 【解答】（1）如图，作DN⊥AC于点N， ∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，∴DN=DM， 在Rt△DCN和Rt△DCM中， ∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL），∴CN=CM， 在Rt△ADN和Rt△BDM中，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（