专题06 等比数列-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅱ专版）

专题06 等比数列 【母题来源一】【2020年高考全国II卷理数】数列中，，，若 若，则 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值. 【解析】在等式中，令，可得，， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， ， ，则，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题. 【母题来源二】【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2），. 【解析】（1）由题设得，即． 又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列． 由题设得，即． 又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，，． 所以， ． 【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题. 【命题意图】 （1）理解等比数列的概念. （2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. （3）了解等比数列与指数函数的关系. 【命题规律】 等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题. 【方法总结】 1．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 2．等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 （1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点． （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． 3．等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）数列仍是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列； 若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列． （4）成等比数列，公比为． （5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列． （6）当时，；当时，． （7）． （8）若项数为，则，若项数为，则． （9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 4．等比数列的判定与证明常用的方法： （1）定义法：为常数且数列是等比数列． （2）等比中项法：数列是等比数列． （3）通项公式法：数列是等比数列． （4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 5．等比数列的基本运算方法： ①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行． ②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”． 6．基本量计算过程中涉及的数学思想方法： ①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解． ②分类讨论思想．等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视． ③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解. 7．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为： （1）通项法．设数列的通项公式来求解； （2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，…，，，，…，； 若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，…，，…，. 8．当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便. 9．（1）形如的递推关系式，利用待定系数法可化为 ，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列