专题05 直线与圆的位置关系-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅱ专版）

专题05 直线与圆的位置关系 【母题来源】【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求圆心到直线的距离. 【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为. 由题意可得，可得，解得或， 所以圆心的坐标为或， 圆心到直线的距离均为； 圆心到直线的距离均为 圆心到直线的距离均为； 所以，圆心到直线的距离为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 【命题意图】 （1）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. （2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. （3）初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 【答题模板】 1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是： （1）明确圆心C的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d； （3）比较d与r的大小，写出结论. 2．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长； （2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求； （3）比较的大小，写出结论. 3．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法： 一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解； 二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则. 4．求两圆公共弦长一般有两种方法： 一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； 二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题. 5．求过圆上的一点的切线方程： 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写出切线方程为;若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程. 6．求过圆外一点的圆的切线方程： （1）几何方法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由,求得k,切线方程即可求出. 7．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在． 8．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． 9．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”． 10．求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等. 11．解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在. 12．求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题. 【方法总结】 1．圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 方程 圆心 半径 区别与 联系 （1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长； （2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出； （3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程 注：当D2+E2－4F = 0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0没有意义，不表示任何图形． 2．直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相离，没有公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相交，有两个公共点． 3．直线与圆的位置关系的判断方法 判断方法 直线与圆的位置关系 几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 代数法：联立直线与圆的方程，消