专题六：利用“斜边、直角边”（HL）定理证明三角形全等-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题六：利用“斜边、直角边”（HL）定理证明三角形全等（无答案） 知识指引 对于一个直角三角形来说，它有9大元素：三边，三角，三顶点。其中三角来定其形状，三边来定其大小，顶点来确定其位置，当一个三角形的三边长固定时，其形状就会具体，因此依据两角及其一角的对边可以确定唯一的三边形，借此可以用来证明三角形全等 · 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 图形分析： 书写格式： 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（HL） · 直角三角形全等的证明方法： 证明两个直角三角形全等的基本思路，首先考虑利用“斜边、直角边”定理，其次考虑用其它定理： 直角三角形全等证明方法汇总 （1）“边边边”；（2）“SAS”；（3）“ASA”；（4） “AAS”；(5) “HL”. · 知识指引 （1）定理分析：斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 （2）思路把握：知斜边对等找取另一组直角边或一组直角边对等找斜边对等是应用“HL”定理的关键。 （3）方法指引：在做几何题时，我们可以借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化 。 · 方法点睛： （1）因为边长能定三角形的大小，因此要证三角形全等需要找3组条件，其中必须有一组对应边相等，从而可以确定三角形三个顶点中的两个． （2）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． [来源:学科网ZXXK]典型例题 类型一：利用“HL”证明两直角三角形全等 【例1】 如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 【分析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF． 变式：如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，∠BAC=45°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF. （1）若∠CAE=30°，求∠ACF度数； （2）求证：AB=CE+BF． 类型二：利用“HL”证明两三角形全等用全等的性质解决问题(二次全等) 【例2】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？ 【分析】相等，先利用HL来判定Rt△ABC≌Rt△BAD，得出AC=BD，∠CAB=∠DBA，再利用AAS判定△ACE≌△BDF，从而推出CE=DF． 变式：如图，AB⊥BC，CD⊥DA，AB=CD．求证:OB=OD．[来源:学#科#网] 强化练习 1．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形的对数为（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2. 如图，Rt△ABC和Rt△DEF，下列条件： ①AC＝DF，BC＝EF；②AC＝DF，∠A＝∠D；③AB＝DE，∠A＝∠D；④AB＝DE，AC＝DF. 其中能使Rt△ABC≌Rt△DEF的是（ ） A.①④　　　B.①②　　　C.①②③　　　D.①②③④ 3.如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，则∠EDF= 。 4.如图，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，已知AE=BF，求证：∠A=∠B. 5.如图，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：AE=AF； 6.如图，有两个长度相等的滑梯BC与EF，滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向，DF的长度相等，问两个滑梯的倾斜角∠B与∠F的大小有什么关系？请说明理由. 7.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证： （1）BC=AD；（2）OA=OB．[来源:学科网ZXXK] 8.如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．求证：△ADE≌△BEC； 9．如图，在△ABD中，BC⊥AD于点C，E为BC上一点，AE=BD，EC=CD，延长AE交BD于点F．求证：AF⊥BD． 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在△ABC外一点，CE⊥AE于点E，CE＝BC．[来源:Zxxk.Com] （1）作出△ABC的角平分线AD．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （2）求证：∠ACE＝∠B． 11．如图，已知点A（1，1）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC． ∠ACO+∠ACB=180