专题七：与角平分线的性质和判定定理有关问题的解析-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题七：与角平分线的性质和判定定理有关问题的解析（无答案） 知识回顾 角平分线的性质在中学数学中具有很重要的地位,它是证明线段相等、角相等的重要工具.因为角平分线本身已经具备全等三个条年中的两个（角相等和公共边相等），因此在处理角平分线问题时，常利用角平分线的性质定理来添加辅助线来构造全等三角形． · 与角平分线有关的性质: （1）对称性； （2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； （3）角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上. · 图态及几何语言 图形分析： 书写格式：[来源:Z_xx_k.Com] （1） 角平分线的性质定理： ∵PA平分∠CAB，PE⊥AB，PF⊥AC ， ∴PE=PF. （2） 角平分线的判定定理： ∵PE⊥AB，PF⊥AC ，PE=PF， ∴PA平分∠CAB. · 辅助线知识点睛: 为了解决几何问题，在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线． 辅助线的原则： 添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 辅助线的作用： ①把分散的条件转为集中； ②把复杂的图形转化为基本图形． 添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试． · 与角平分线性质和判定有关的辅助线: 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明题； 或过角内部一点向角两边的作垂线，从而证明相应的线为角平分线 典型例题 类型一：角平分线的性质定理的运用 【例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF． （1）求证：CF=EB． （2）若AB=12，AF=8，求CF的长． 【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF=EB； （2）设CF=x，则AE=12-x，再根据题意得出△ACD≌△AED，进而可得出结论． 类型二：角平分线判定定理的基本运用 【例2.】（2019·深圳期中）如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ACB=60°，D为△ABC外一点，DA平分∠BAC，∠CBD=50°，求∠DCB的度数.[来源:Zxxk.Com] 【分析】分别作作DH⊥AB延长线于H，延长AB到E， DE⊥AC延长线于E， DF⊥BC于F．想办法证明DE=DF，推出DC平分∠QCB即可解决问题． 强化练习一 1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E．若BC=8，BD=5，则DE的长度为（ ）． A．3 B．5 C．6 D．8 2．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE⊥AB，DF⊥AC，给出下列说法：（1）DE=DF；（2）AD平分∠EDF；（3）BD=CD；（4）△EBD≌△FCD．其中正确的个数是（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为点M,N,PM=PN,∠BOC=30°,则∠AOB=　　　 . [来源:学§科§网] 4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=8cm，AC=6cm，则：＝ A B D C [来源:学科网] 5．如图，CE⊥AB，BF⊥AC，BF交CE于点D，且BD=CD．求证：点D在∠BAC的平分线上． 6.已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D． （1）PC和PD有怎样的数量关系是　 　． （2）请你证明（1）得出的结论． 7.如图，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°． 8.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结DE． （1）求证：点E到DA，DC的距离相等； （2）求∠DEB的度数． 9．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线BE,CF交于点O，若∠A=60゜，求证：OE=OF． 强化练习二 1．联欢会上，A，B，C三名选手站在一个三角形三个顶点上玩抢凳子游戏，在他们中间放个木凳，谁先抢到凳子就获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当位置是△ABC的（ ）． A．三边中线的交点 B．三边中垂线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 2．