专项训练9 勾股定理及逆定理-八年级数学【假期作业】期末暑假系统总复习（人教版）

２２　　　 １８．【解析】(１)在 Rt△ABC 中,∠BAC＝３０°,E 为AB 边的 中点, ∴BC＝EA,∠ABC＝６０°． ∵△DEB 为等边三角形, ∴DB＝DE,∠DEB＝∠DBE＝６０°, ∴∠DEA＝１２０°,∠DBC＝１２０°, ∴∠DEA＝∠DBC ∴△ADE≌△CDB． (２)如图,作点E 关于直线AC 的对称点E′,连接BE′交 AC 于点H, 则点 H 即为符合条件的点． 由作图 可 知:EH＝HE′,AE′＝AE,∠E′AC＝∠BAC ＝３０°． ∴∠EAE′＝６０°, ∴△EAE′为等边三角形, ∴EE′＝EA＝ １２AB, ∴∠AE′B＝９０°． 在 Rt△ABC 中,∠BAC＝３０°,BC＝ ３, ∴AB＝２ ３,AE′＝AE＝ ３, ∴BE′＝ AB２－AE′２＝ (２ ３)２－(３)２＝３, ∴BH＋EH 的最小值为３． 专项训练９　勾股定理及逆定理 经典演练 １．A ２．【解析】图中的直角三角形的两直角边长为１和２, ∴斜边长为: １２＋２２＝ ５, ∴－１到A 的距离是 ５,那么点A 所表示的数为 ５－１． 故选 C． ３．【解析】∵两条边长是连续偶数,可设另一直 角 边 长 为 x,则斜边长为(x＋２), 根据勾股定理得:(x＋２)２－x２＝６２, 解得x＝８,∴x＋２＝１０, ∴周长为:６＋８＋１０＝２４． 故选 C． ４．【解析】∵∠ACB＝∠AC′B′＝９０°,AC＝BC＝３, ∴AB＝ AC２＋BC２＝３ ２,∠CAB＝４５°． ∵△ABC 和△A′B′C′大小、形状完全相同, ∴∠C′AB′＝∠CAB＝４５°,AB′＝AB＝３ ２, ∴∠CAB′＝９０°, ∴B′C＝ CA２＋B′A２＝３ ３． 故选:A． ５．【解析】∵∠A＝９０°,∠B＝∠D＝３０°, ∴∠AED＝∠ACB＝６０°． ∵∠AED＝∠B＋∠EFB＝∠ACB＝∠CFD＋∠D＝６０°, ∴∠EFB＝∠CFD＝３０°, ∴∠B＝∠EFB＝∠CFD＝∠D, ∴BE＝EF＝CF＝CD, ∴四边形AEFC 的周长＝AB＋AD． ∵∠A＝９０°,AE＝AC＝１, ∴AB＝AD＝ ３, ∴四边形AEFC 的周长＝２ ３． 故选B． ６．【解析】∵AD⊥BC, ∴∠ADC＝∠ADB＝９０°． 在 Rt△ADC 中,AC＝８,∠C＝４５°, ∴AD＝CD, ∴AD＝４ ２． 在 Rt△ADB 中,AD＝４ ２,∠ABD＝６０°, ∴BD＝４ ６３ ． ∵BE 平分∠ABC,∴∠EBD＝３０°． 在 Rt△EBD 中,BD＝４ ６３ ,∠EBD＝３０°, ∴DE＝４ ２３ ,∴AE＝AD－DE＝ ８ ２ ３ ． 故选:C． ７．【解析】∵∠C＝９０°,BC＝３,BD＝AC＝１, ∴CD＝２,AD＝ CD２＋AC２ ＝ ５,AB＝ AC２＋BC２ ＝ １０, ∴BD＋AD＝ ５＋１． 又∵△ABD 中,AD＋BD＞AB, ∴ ５＋１＞ １０． 故答案为:＞． ８．【解析】∵AD 平分∠CAB,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴CD＝DE＝１５cm, 在 Rt△DEB 中,∵ ∠DEB＝９０°,DE＝１５cm,BE＝ ８cm, ∴BD＝ ８２＋１５２＝１７(cm), ∴BC＝１５＋１７＝３２(cm)． 故答案为３２． ９．【解析】有两种情况: ①如图１,∵AD 是△ABC 的高, ∴∠ADB＝∠ADC＝９０°, 由勾 股 定 理 得:BD ＝ AB２－AD２ ＝ ( ３４)２－３２ ＝５, CD＝ AC２－AD２＝ ５２－３２＝４, ∴BC＝BD＋CD＝５＋４＝９; ②如图２,同理得:CD＝４,BD＝５, ∴BC＝BD－CD＝５－４＝１． 综上所述,BC 的长为９或１． 故答案为:９或１． １０．【解析】依题意,设“数学风车”中的四个直角三角形的 斜边长为BD＝x,AC＝y,则 x２＝４y２＋５２． ∵△BCD 的周长是３０, ∴x＋２y＋５＝３０, 则x＝１３,y＝６． ∴这个风车的外围周长是:４(x＋y)＝４×１９＝７６． 故答案是:７６． １１．【解析】如图,延长 BC 交AD 的延长线于E,作 BF⊥ AD 于F． 在 Rt△ABE 中,∵∠E＝３０°,AB＝４, ∴AE＝２AB＝８, 在 Rt△ABF 中,AF＝ １２AB＝２, ∴AD 的取值范围为２＜AD＜８． 故答案为２＜AD＜８． １２．８４　８５ １３．【解析】(１)在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝４,BC＝２, ∴AB＝ AC２＋BC２＝ ４２＋２２＝２ ５, (２)Rt△ABC 中,∠C＝９０°,BC＝a,AB＝c,AC＝４, ∴c２－a２＝１６, ∴(c－２)２－(a＋４)２＋４(c＋２a＋３) ＝c２－４c＋４－(a２＋８a＋１６)＋４c＋８a＋