专题3.1 函数的概念与表示（精讲精析篇）-2020-2021学年新高考高中数学核心知识点全透视

专题3.1函数的概念与表示（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 求函数的定义域 1.(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 3．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 【典例1】（2019·江苏高考真题）函数 的定义域是_____. 【典例2】（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数 定义域是 ，则 的定义域是（ ） A．[0, ] B． C． D． 【典例3】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数 的定义域是 ,则函数 的定义域是( ) A. B. C. D.无法确定 【特别提醒】 求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达． 热门考点02　求函数的解析式 1. 求函数解析式的四种方法 【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2， ，则实数a=_____，b=______. 【典例5】（2020·山西省太原市实验中学高二期中（文））若 为一次函数，且 ，则 _____________ 【典例6】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若 ,则 的解析式为__________. 【例7】（2018·江苏省启东中学高一开学考试）已知 ，则 _____________. 【特别提醒】 谨防求函数解析式的两种失误： (1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围． 如已知f( )＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)． 热门考点03 分段函数及其应用 1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． 3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 【典例8】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________． 【典例9】（2018·上海市金山中学高一期末）已知 ，则下列函数的图象错误的是（ ） A. 的图象 B. 的图象 C. 的图象 D. 的图象 【典例10】（上海高考真题（理））设若，则 的取值范围为_____________. 【典例11】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________． 【典例12】（2014浙江高考理第15题）设函数 若 ，则实数 的取值范围是______ 【总结提升】 关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． 热门考点04 求函数的值域 【典例13】（2019·浙江省镇海中学高一期中）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【典例14】（2020·甘肃省武威十八中高三期末（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，