专题3.3 函数的基本性质（精讲精析篇）-2020-2021学年新高考高中数学核心知识点全透视

专题3.3 函数的基本性质（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 函数的单调性 增函数、减函数 （1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； （2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有 ，那么就说函数在区间上是减函数. 【典例1】函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（ ） A．-3 B．13 C. 7 D． 5 【典例2】（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）给定下列函数：① ② ③ ④ ，满足“对任意 ，当 时，都有 ”的条件是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【典例3】判断函数 在 上的单调性，并证明你的结论. 【总结提升】 1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性； 2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数； （2）函数与函数的单调性相反； （3）时，函数与的单调性相反（）； 时，函数与的单调性相同（）. 3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）. *4.导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减. 【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较. 热门考点02 函数单调性的应用 函数的最值 （1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有； ②存在，使得. 那么，我们称是函数的最大值. （2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有； ②存在，使得. 那么，我们称是函数的最小值. 【典例4】（2018·湖南省衡阳市一中高一期中）已知定义在 上的单调减函数 ,若 ,则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【典例5】（2019·辽宁省高一期中）若函数 在 上是单调函数，则 的取值可能是（ ） A．0 B．1 C． D．3 【典例6】（2019·四川省高一期末）已知函数 . （1）若函数 在区间 上单调递减，求 的取值范围； （2）若 在区间 上的最大值为 ，求 的值. 【总结提升】 函数单调性的应用 （1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会） 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． （2）求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))． （3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 热门考点03 函数的奇偶性 1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法： (2)图象法： 2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． 【典例7】（2020·甘肃省武威十八中高二期中（文））已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ） A． B． C． D． 【典例8】（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数 则 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【典例9】（2013·上海高考真题（理））设 为实常数， 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若 对一切 成立，则 的取值范围是 . 【总结提升】 拓展： 1.函数奇偶性的判断 (1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”． (2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 热门考点04 函数的周期性 函数周期