专题3.5 幂函数（精讲精析篇）-2020-2021学年新高考高中数学核心知识点全透视

专题3.5幂函数（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数叫做幂函数. 【典例1】（2020·广东省高一期末）若函数 是幂函数，则 （ ） A．3 B． C．3或 D． 【典例2】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知幂函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象经过点 ，则 _______． 【特别警示】 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数， 【变式探究】 1.（2018·重庆市綦江中学高一期中）若幂函数 的图像过点 ，则 的值域是_________ 2.（2015·湖南高考真题（理））已知函数 若存在实数a，使函数g(x)=f(x)-a有两个零点，则实数m的取值范围是________． 热门考点02 幂函数的图象和性质 1. 五种常见幂函数的性质，列表如下： 解析式 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 y＝x R R 奇 在R上是__增函数__ 都过(1,1)点 y＝x2 R [0，＋∞) 偶 在(－∞，0)上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数 y＝x3 R R 奇 在R上是增函数 [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 在[0，＋∞)上是增函数 y＝x－1 (－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数 2.幂函数的指数与图象特征的关系 (1)图象：在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y= ，y＝x－1的图象如图． （2）幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边． （3）当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限的图象特征： 【典例3】（2020·甘肃省武威十八中高二期中（文））函数 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【典例4】（2018·上海高考真题）已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则 ____． 【规律方法】 幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可． 【变式探究】 1．（2020·通榆县第一中学高一期末）若函数 是幂函数,且 在 上单调递增,则 ( ) A． B． C．2 D．4 2．（2020·攀枝花市第十五中学校高一期中）幂函数 的图象关于 轴对称，则实数 _______. 热门考点03 幂函数图象和性质的应用 【典例5】（2020·云南省高三其他（文））已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【典例6】（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期中（文））已知幂函数 的图象过点 ，且 ，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例7】（2019·浙江省高二学业考试）设 ； ，则p是q成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例8】（2019·安徽省淮北一中高一期中）若幂函数 的图像过点 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【总结提升】 1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 2.利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤． 第一步，据指数分清正负； 第二步，正数区分大于1与小于1，a>1，α>0时，aα>1；0<a<1，α>0时0<aα<1；a>1，α<0时0<aα<1；0<a<1，α<0时，aα>1； 第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形． 2．给定一组数值，比较大小的步骤． 第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行． 第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1. 第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性． 第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等． 【变式探究