专题3.7 函数、方程与不等式的关系（精讲精析篇）-2020-2021学年新高考高中数学核心知识点全透视

专题3.7函数、方程与不等式的关系（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 求函数的零点 1．函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点 【典例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4； 【典例2】（2020·上海高三三模）函数 ，如果方程 有四个不同的实数解 、 、 、 ，则 　 　． 【总结提升】 1.正确理解函数的零点： (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． (2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．, 【变式探究】 （2019·贵州省凯里一中高一期中）方程 的两个根分别为（ ） A． B． C． D． 热门考点02 判断零点所在的区间 1．函数零点的判定定理 条件 结论 函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点 (1)图象是连续不断的曲线 (2)f(a)f(b)＜0 2.判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法： (1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解． (2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点． (3)定理法：利用零点的判定定理来判断． 【典例3】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数 的零点所在的大致区间为（ ） A． B． C． D． 【典例4】（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ） A．[－2.1，－1] B．[4.1，5] C．[1.9，2.3] D．[5，6.1] 【总结提升】 判断函数零点所在区间的方法： 一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断． 【变式探究】 1.（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）函数 按照下述方法定义：当 时， ；当 时， ，方程 的所有实数根之和是（ ） A．8 B．13 C．18 D．25 2．（2020·东北育才学校高三其他（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数 ， 称为高斯函数，其中 表示不超过 的最大整数. 设 ，则函数 的所有零点之和为________. 热门考点03 函数零点个数的判断 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根 的个数 2 1 0 【典例5】（2020·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数 的定义域为R， 是周期为2的奇函数， 在区间 上恰有5个零点，则 在区间 上的零点个数为（ ） A．5050 B．4041 C．4040 D．2020 【典例6】（2016·上海高一期末）已知函数 ，其中 ； （1）当 时，判断 在区间 上的单调性，并用定义证明； （2）讨论函数 零点的个数； 【总结提升】 判断函数零点个数的主要方法： (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 【变式探究】 1.（2020·江苏省高三其他）设 表示不超过实数 的最大整数(如 ， )，则函数 的零点个数为_______. 2.求函数f(x)＝x2－5x＋6在[1,4]上的零点个数. 【错解】错解一：由题意，得f(1)＝2>0，f(4)＝2>0，因此函数f(x)＝x2－5x＋6在[1,4]上没有零点，即零